平成 28 年度新潟県公立高校入試解説数学

平成 28 年度新潟県公立高校入試解説数学[3]
★
目標 40 点
★★
目標 60 点
家庭教師のホームティーチャーズ
★★★ 目標 80 点
証明問題は毎年出題されます。レベルとしては平年並みですが、正答率は 35%程度。
証明＝難しい,出来ないと毛嫌いせず、チャレンジしてみましょう。
ここでは証明が苦手な人向けに、基本的な手順をまとめておきます。
「そんなことしなくても出来るよ」という生徒さんは、読み飛ばして【解答】に進んで下さい。
苦手な人向け手順①
問題文に書かれた情報を与えられた図の中に書き込む
これは、苦手な人でなくてもやるべきことです。
「問題文に書かれた情報」とは、辺の長さや角度が等しいといったことだけでなく、例えば、
・図形を折り返したとあれば、どことどこが元々同じ辺や角で等しくなるとか
・円の中心と接線があれば、ここは直角になる
といった隠れ情報も含みます。
与えられる図に情報は書いてある場合もありますが、隠れ情報は書かれていないことがほとんどです。
証明問題の易しい・難しいは、この隠れ情報の見つけやすさで決まると言えます。
問題を見てみましょう。
問題文に書かれた情報としては、①AB = AE
② AC は∠BAD の二等分線であるの 2 つがありますね。
まずは、この 2 つを書き込みましょう。
また、隠れた情報というほど大げさなものではありませんが、円周角の定理から、
∠ACB = ∠ADE
や ∠CBD = ∠CAD (= ∠BAC) も分かりますので書き込んでおきましょう。
まず始めに全ての情報を書き込むことで、合同条件や相似条件を探しやすくなります。
A
B
E
×
D
無断転載を禁止します家庭教師のホームティーチャーズ
×
C
苦手な人向け手順②
分かりづらいときには向きを揃えて書き直してみる
証明問題では、必ず △アイウ≡△カキクであることを証明しなさい。
というように、対応する頂点が分かるようになっています。（この場合は、アとカ、イとキ、ウとクがそれぞれ対応）
キ
せっかく対応する頂点が分かっているのですから、
ウ
イ
カ
ア
ク
分かりづらい場合は、回転・反転させて書き直してみると良いでしょう。
ク
ウ
ア
キ
カ
イ
書き直すことで、証明に使えそうな合同条件や相似条件が見えてきます。
もちろん①で書き込んだ情報も入れましょう。
この問題では、反転しているわけではありませんので書き直すまでもないかもしれません。
A
A
D
×
×
B
C
E
無断転載を禁止します家庭教師のホームティーチャーズ
苦手な人向け手順③
合同条件、相似条件の中から当てはまりそうな条件を予想していく
三角形の合同条件は、 3 辺がそれぞれ等しい
2 辺とその間の角がそれぞれ等しい
1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい
の 3 つです。
前ページの図から考えて、2 組の角が等しいことが分かっているので、2 番目か 3 番目の条件だろうと予想できます。
2 番目の条件を使うのであれば、AC と AD が等しいことが説明できる必要があり、
3 番目の条件を使うのであれば、∠B と∠E が等しいことが説明できる必要があります。
どちらを使えば良いのか分かりましたか？
∠C＝∠D も分かっていますので、
三角形の残りの角である∠B と∠E が等しいと言えそうです。
×
×
このような流れで、3 番目の条件が使えそうだと予想できるわけです。
どちらも、180°－
【解答】
×
(証明)
△ABC と△AED において
仮定より、AB ＝ AE
･･･①
仮定より、AC は∠BAD の二等分線であることから、∠BAC ＝ ∠EAD
弧 AB に対する円周角より ∠BCA ＝ ∠EDA ･･･③
･･･②
×
ここで、∠ABC ＝ 180°－∠BAC －∠BCA
また、 ∠AED ＝ 180°－∠EAD －∠EDA
であるから、②、③より ∠ABC ＝∠AED
･･･④
①、②、④より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABC≡△AED (終)
合同や相似の証明問題では、
「合同（相似）なのだろうか？」と考えるのではなく、
合同（相似）は間違いないが、
「どの条件が使えそうか」と考えていくのがセオリーです！
上に挙げた手順で使えそうな条件を予想していきましょう。
新潟県発表の正答率
[3] 35.2%
無断転載を禁止します家庭教師のホームティーチャーズ

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