Blatt 7

Übungsblatt 7
Lineare Algebra I, SoSe 2016
Dr. Matthias Köhne, Dr. Benno Kuckuck
Ausgabe: Di., 24.05.2016, Abgabe: Di., 31.05.2016
Definition: Seien (X, ) und (Y, ⊗) Gruppen. Eine Abbildung f : X −→ Y heißt Gruppenhomomorphismus,
wenn f (x y) = f (x) ⊗ f (y) für alle x, y ∈ X gilt. Ist f zusätzlich bijektiv, so heißt f Gruppenisomorphismus.
Aufgabe 27: (Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen)
Seien (X, ) und (Y, ⊗) Gruppen und f : X −→ Y ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
[6 Punkte]
(a) f (1X ) = 1Y .
(b) Für alle x ∈ X ist f (x−1 ) = f (x)−1 .
Hinweis: Die Elemente 1X bzw. 1Y sind die neutralen Elemente in X bzw. Y . Für x ∈ X ist x−1 das Inverse
zu x; für y ∈ Y ist y −1 das Inverse zu y.
Aufgabe 28: (Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen)
Seien (X, ) und (Y, ⊗) Gruppen und f : X −→ Y ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
[8 Punkte]
(a) Der Kern N (f ) := { x ∈ X : f (x) = 1Y } von f ist eine Untergruppe von X.
(b) Das Bild R(f ) := { y ∈ Y : ∃x ∈ X : f (x) = y } von f ist eine Untergruppe von Y .
Aufgabe 29: (Gruppenisomorphismen)
[8 Punkte]
Sei G = { id, ρ2π/3 , ρ4π/3 , τA , τB , τC } die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks aus Aufgabe 20. Geben
Sie einen Gruppenisomorphismus f : G −→ S3 an.
Aufgabe 30: (Unterräume)
[6 Punkte]
Seien F ein Körper und X ein F -linearer Raum. Sei Y ⊆ X ein Unterraum von X. Bestimmen Sie alle x ∈ X,
für die x + Y := { x + y : y ∈ Y } := { z ∈ X : ∃y ∈ Y : z = x + y } ein Unterraum von X ist.
Aufgabe 31: (Lineare Hüllen)
Seien F ein Körper und X ein F -linearer Raum. Zeigen Sie:
(a) lin(∅) = { 0 }.
(b) Für jedes A ⊆ X ist A ⊆ lin(A).
(c) Für jeden Unterraum Y ⊆ X ist Y = lin(Y ).
(d) Für A, B ⊆ X mit A ⊆ lin(B) gilt lin(A) ⊆ lin(B).
[12 Punkte]

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