12月1日分の問題の解答

１２月１日分の問題の解答
問題 3.4
(i) An = {ω ∈ Ω; X(ω) ≥
X(ω) ≥
1
n
だから，
1
n}
に対して，ω ∈ An ならば，
1
1
E[X; An ] = E[X1An ] ≥ E[ 1An ] = P (An )
n
n
一方，仮定から X(ω) ≥ 0 が常に成り立つので， EX ≥ E[X; An ]．し
たがってこの二つをあわせて
1
P (An ) ≤ E[X; An ] ≤ EX
n
すべてを n 倍すれば求める不等式を得る．
(ii)
(i) から 0 ≤ P (An ) ≤ nEX = 0 だから
P (An ) = 0 ∀n ≥ 1
(iii) {X > 0} = ∪n≥1 An なので，(ii) より確率の劣加法性を使うと、
P (X > 0) = P (∪n≥1 An ) ≤
1
X
n≥1
P (An ) = 0

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