Propädeutische Analysis I – Série 12 SA 2016 J.–P. Berrut A rendre

Propädeutische Analysis I – Série 12
SA 2016
J.–P. Berrut
A rendre jusqu’au mercredi 21 décembre 2016, 12:00, dans le casier marqué “Analyse propédeutique” entre les bureaux 2.55 et 2.56 du bâtiment de physique.
Exercice 34. Séparation des variables. Résoudre les problèmes à valeur initiale suivants.
(a)
dy
= x3 e−y ,
dx
(b)
dy
3y
= 3,
dx
x
(c)
dy
1
=
,
dx
(1 + x2 )y
(d)
dx
= t2 (1 − x2 )1/2 ,
dt
y(0) = −5
y(1) = 1
y(0) = 1
x(0) = 0
Exercice 35. Boule de neige. Schneeball. Une boule de neige fond, à température ambiante
constante, de sorte que la vitesse de diminution du volume est proportionnelle à la surface :
Ein Schneeball schmilzt bei konstanter Umgebungstemperatur so, dass die Abnahme des Volumens
proportional zur Oberfläche ist:
V̇ (t) = −λ S(t)
(∗)
(a) Quelle est la dimension (longeur, aire, temps, poids, . . . ) de la constante λ ?
Was ist die Masseinheit der Konstanten λ (Länge, Fläche, Zeit, Gewicht, ...)?
(b) Dans le cas d’une boule parfaite, (∗) donne une équation différentielle pour le rayon r(t).
Etablir cette équation et esquisser le graphe de la solution r(t). La valeur initiale r(0) et la
constante λ sont supposées connues.
Im Fall einer perfekten Kugel lässt sich aus (*) eine Differentialgleichung für den Radius
der Schneekugel herleiten. Finden Sie diese Gleichung und skizzieren Sie den Graphen der
Lösung. Dabei kann der Anfangswert r(0) und der Wert der Konstanten λ als bekannt
angenommen werden.
Exercice 36. Equation différentielle homogène. Homogene Differentialgleichung.
(a) Parmi les équations suivantes, lesquelles sont-elles homogènes? Welche der folgenden Differentialgleichungen sind homogen?
1. x2 y 0 =
x3 + y 3
x−y
2. y 2 y 0 = 5x2 + sin(xy)
3. xy 0 − y = x(ln(x) − ln(y))
(b) Trouver la solution du problème à valeur initiale : Lösen Sie das Anfangswertproblem:
p
√
xyy 0 = y 2 + x y 2 − x2 ,
y(1) = 2 .
Indications. Hinweise.
Remarque : On peut vérifier les solutions trouvées en les substituant dans l’équation différentielle.
34 Séparation des variables, voir script p.69ff.
35 (b) Dans le cas d’une boule parfaite, (∗) donne une équation différentielle pour le rayon r(t).
Afin d’établir cette équation, exprimer le volume V et la surface S en fonction du rayon r et
substituer dans (∗).
Im Falle einer perfekten Kugel lässt sich aus (∗) eine Differentialgleichung für den Radius der
Schneekugel herleiten. Drücken Sie dazu das Volumen und die Oberfläche als Funktionen des
Radius r aus und setzen Sie dies in (∗) ein.
Page web du cours : http://perso.unifr.ch/elia.saini

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