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量⼦⼒学IIおよび演習
学籍番号
課題
⽒名
1右図のようなポテンシャルあり、そこに電⼦が存在してい
るとする。
① 井⼾内および井⼾外（x>L)の場合におけるシュレーディ
ンガー⽅程式を求めなさい。ただし、井⼾内の波動関数
をφ1n(x)、 φ2n(x)としなさい。
② 波動関数を求めなさい（井⼾内、井⼾外（x>L)の波数を
それぞれα,βとする）
③ L=3nm、V=0.5eV、電⼦の質量が9.11×10-31kgとした
時、井⼾内にできる基底状態のエネルギー固有値を求め
なさい。
①.
2

2m
2

2m
5回⽬
d2 1
（0<x<L)
  x   En1  x 
2 n
dx
d2 2
 x   Vn2 x   En2 x  （x>L)
2 n
dx
エネルギー
V(x)=
V(x)=V
0
L
② 井戸内、外の波動関数は、
 n1 x   A sin x
 n2 x   B exp x 
と定義される。
③ 境界条件
 n1 L    n2 L ,
d 1
d
 n x  x  L   n2 x  x  L
dx
dx
より、 A sin L  B exp  L ,
A cos L   B exp  L 
上記2式をまとめて、
 L  L cot L
また、個々の波動関数をシュレディンガー方程式に代入し、
2

2m
2

2m
d2 1
 2 2 1
2mE
 x  
n  x   En1 x    2  2
2 n
dx
2m

 2 2
 2
d2 2
2mV  E 
2
2
2













x

V
x



V
x

E
x




n
n
n
n
dx 2
2
 2m

したがって、
L 
2
  L 
2
2mVL2

2
マスマティカを使ってLを導出
L  2.87385    9.28 108
エネルギー固有値
 2 2
E
 5.27 10  21 J   0.0328eV   32.8meV 
2m
x
量⼦⼒学IIおよび演習
学籍番号
課題
5回⽬
⽒名
1の続きが必要な場合は使いなさい
2. 右の図のようなポテンシャル中に存在すると考えられる波
動関数の概略を書きなさい
エネルギー
V(x)
x
5回⽬
量⼦⼒学2および演習
学籍番号
⽒名
3. 質量がm1とm2の原⼦からなる2原⼦分⼦間に原⼦核間の距離に⽐例したポテンシャルエネルギー
1
C：定数
V  Cx 2
2
が働くとして、原⼦核を結ぶ線に沿って振動する分⼦の振動エネルギー固有値を求めなさい。
m1
分⼦の質量中⼼に対する、それぞれの原⼦の運動量をp、-pと
すれば、分⼦の全エネルギーは、x=0を平衡状態として
m2
p2
p2 1 2

 Cx
2m1 2m2 2
1
1
1
となる。ここで、 m  m  m とすれば、
1
2
E
E
p2 1 2
 Cx
2m 2
となり、単⼀原⼦の調和振動⼦に帰着する。したがって、シュレーディンガー⽅
程式は波動関数をφとすれば
 2 2 1 2 
  Cx   E
2
2
m


となる
ここで調和振動⼦の場合のシュレーディンガー⽅程式の解は
 2 2 1
2 2


m

x   E

2
 2m

1

E n    n  
2

n  0,1,2,3,  
より、式を⽐較すると
よって、振動エネルギー固有値は
En  
1
1
C
C 
n    
 n   n  0,1,2,3,  
2
2
m
m1  m2 

C
m

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