Aufgabe 6.82 - TU Chemnitz

Rolf Haftmann: Aufgabensammlung zur Höheren Mathematik mit ausführlichen Lösungen
(Hinweise zu den Quellen für die Aufgaben)
Aufgabe 6.82
Seien A und B quadratische Matrizen der Ordnung n mit AB = BA.
n
n
Ai Bn−i gilt!
a) Zeigen Sie, dass dann A − B = (A + B)(A − B) und (A + B) = ∑
i=0 i
b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass bei AB 6= BA diese Formeln nicht gelten müssen!
2
2
n
Lösung:
a) (A + B)(A − B) = AA − AB + BA − BB = A2 − B2 wegen Kommutativität,
auch bei zweiter Formel Kommutativität benutzen, Beweis mit vollständiger Induktion:
Für n = 1 ist die Formel offensichtlich richtig:
n 1
1
1
1
0 1
i n−i
A1 B0 = B+A = A+B.
A B +
(A+ B) = ∑
AB =
1
0
i
i=0
Induktionsschritt:
!
n n n
n
n
n+1
i+1 n−i
i n−i
(A + B) = ∑
A B +∑
Ai Bn+1−i
AB
(A + B)
= ∑
i
i
i
i=0
i=0
i=0
n
n−1
n
n
n
n
A0 Bn+1
Ai Bn+1−i +
Ai+1 Bn−i + ∑
An+1 B0 + ∑
=
0
i
i
n
i=1
i=0
n
n n
n
n
n
n+1 0
i n−(i−1)
i n+1−i
A0 Bn+1
A B +∑
AB
+∑
AB
+
=
0
n
i−1
i
i=1
i=1
n+1
n+1
n+1 i n+1−i
n
n+1 n+1 0 n
n
0 n+1
i n+1−i
A B =∑
AB
,
AB
+
A B +∑
+
=
0
i
i
n+1
i−1
i=0
i=1
n(n−1) . . .(n−i+2) n(n−1) . . .(n−i+1)
n
n
=
+
da
+
i
i−1
(i−1)!
i! n+1
n(n−1). . .(n−i+2)(i+(n−i+1))
=
=
i!
i
n
0 0
1 0
0 0
0 0
b) Sei A=
und B=
. Für diese Matrizen gilt AB=
6= BA=
,
1 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0
2
2
A =
=
, B =
=
,
1 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
−1 0
1 0
−1 0
−1 0
2
2
A −B =
6= (A+B)(A−B) =
=
,
0 0
1 0
1 0
−1 0
1 0
1 0
1 0
1 0
2
2
2
(A+B) =
=
6= A +2AB+B =
.
1 0
1 0
1 0
2 0

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