複素関数論 講義１１ 第11回 コーシーの積分定理 コーシーの積分定理 f ( z ) が領域Dで正則 C はD内の単一閉曲線 C の内部はDのみ D C ∫ C f ( z )dz =0 定理 f ( z ) が領域Dで正則 C1 , C2 はD内の単一閉曲線 C2 は C1 の内部 C2 と C1 で囲まれる領域はDの点のみ D C2 C1 ∫ C1 f ( z )dz = ∫ f ( z )dz C2 証明 コーシーの積分定理を利用 ∫ ∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz C f ( z )dz + ∫ − C2 C1 Γ C1 −Γ Γ − ∫ f ( z )dz − ∫ Γ C2 ∫ C1 f ( z )dz = 0 Γ −Γ f ( z )dz = 0 0 f ( z )dz − ∫ f ( z )dz = C2 −C2 C1 ではこういうのは？ C1 D C2 Cn C C1 D C2 Cn C C , C1 , C2 ,..., Cn で囲まれた領域 定理 f ( z ) が領域Dで正則 C1 , C2 ,..., Cn がD内の単一閉曲線 C1 , C2 ,..., Cn は C の内部 C , C1 , C2 ,..., Cn で囲まれる領域はDの点のみ Ci , Ck (i ≠ k ) が互いに外部 ∫ C ( z )dz f= ∫ C1 f ( z )dz + ∫ f ( z )dz +... + ∫ f ( z )dz C2 Cn 証明 ∫ ∫ C f ( z )dz + ∫ − C2 − C1 f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ Γ1 −Γ1 f ( z )dz + f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ 0 f ( z )dz = Γ1 , −Γ1 Γ , −Γ Γ2 −Γ 2 ∫ − Cn Γn −Γ n 2 −C1 −Cn Γ n , −Γ n C −C2 2 ∫ 例題 C : z = 2 z dz 2 ∫c= z +1 C c ∫ c z dz を求めよ 2 z +1 1 1 1 + dz 2 z −i z +i 正則でない i −i 1 1 1 + が領域Dで正則 2 z −i z +i C1 , C2 がD内の単一閉曲線 C1 , C2 は C の内部 C C , C1 , C2 で囲まれる 領域はＤの点のみ C1 , C2 が互いに外部 1 C2 コーシーの積分定理 f ( z )dz ∫ ∫= C C1 iC f ( z )dz + ∫ f ( z )dz C2 −i ∫ C1 ∫ f ( z )dz C2 f ( z )dz をどう計算するか？ C iC 1 C2 −i 先週の例題２を利用 例題２ ∫ ( z − a) C n dz (n = 0, ±1, ±2,...) r 正の向きに一周 C： z −a = n ≠ −1 ∫ ( z − a) n C 0 dz = n = −1 z − a ( ) ∫C = 2π i r a −1 dz = 0 z 1 1 1 dz + dz 2 ∫c= ∫ z +1 2 c z −i z +i 1 1 1 + dz ∫ 2 c1 z − i z + i 1 1 1 + ∫ + dz 2 c2 z − i z + i 1 1 1 1 dz + ∫ dz ∫ 2 c1 z − i 2 c1 z + i 1 1 1 1 dz + ∫ dz ∫ 2 c2 z − i 2 c2 z + i πi + 0 + 0 +πi = 2π i iC 1 C2 −i ∫ C f ( z )dz =0 であれば 同じ，始点，終点の２曲線は ∫ ∫ C1 f ( z )dz + ∫ C1 f ( z )dz = ∫ f ( z )dz − C2 f ( z )dz = 0 C2 始点 C1 終点 C2 定義 領域D内の任意の単一閉曲線の内部が Dの点のみからなる → Dは単連結 単連結ではない 単連結 定理 f ( z ) が単連結領域Dで正則 D内の任意の閉曲線にC対して ∫ C f ( z )dz =0 不定積分 z F ( z ) = ∫ f (ξ )d ξ z0 定理 f ( z ) が単連結領域Dで正則 F ′( z ) = f ( z )
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