数学B 4STEP （85～105） ①空間の基本図形～④ベクトルの成分

数学B　4STEP　（85～105）　①空間の基本図形～④ベクトルの成分
[改4SB問85]立方体の辺,対角線のなす角 " 改訂版 4STEPＢ０８１～０９０ #
(5)　y 軸に関して対称な点 E　(6)　z 軸に関して対称な点 F
右の図のような立方体 ABCD-EFGH において，次の
(7)　原点に関して対称な点 G
A
2 直線のなす角 h を求めよ。ただし，0,( h ( 90, とする。
(1)　AB，CG　(2)　AB，DG
B
D
C
H
E
F
G
8
s　(1)　0，
15
8
4
，0 (2)　，0，
2
5
5
9
8
s　(1)　(4，2，1)　(2)　(-4，2，-1)　(3)　(4，-2，-1)　(4)　(4，-2，1)
(1)　P は y 軸上にあるから，その座標を 0 0，y，01 とする。
(5)　(-4，2，1)　(6)　(-4，-2，-1)　(7)　(-4，-2，1)
AP=BP から　AP 2 = BP 2
解説
ゆえに　0 -11 2 + 0 y - 21 2 + 0 -31 2 = 0 -21 2 + 0 y - 31 2 + 0 -41 2
15
これを解いて　y =
2
(1)　(4，2，1)　(2)　(-4，2，-1)　(3)　(4，-2，-1)　(4)　(4，-2，1)
(5)　(-4，2，1)　(6)　(-4，-2，-1)　(7)　(-4，-2，1)
s　(1)　90,　(2)　45,
8
よって，求める点 P の座標は　0，
解説
(1)　AB と CG のなす角は，AB と AE のなす角に等しい。
よって，求める角 h は　90,
(2)　AB と DG のなす角は，AB と AF のなす角に等しい。
[改4SB問89]空間の2点間の距離 " 改訂版 4STEPＢ０８１～０９０ #
次の 2 点間の距離を求めよ。
(1)　O 0 0，0，01 ，A 0 2， -1，41 (2)　A 0 5， -1， -31 ，B 0 -2，0， -11
s　(1)　U 21 (2)　3U 6
解説
次の点のうち，xy 平面，yz 平面，zx 平面上にあるものを，それぞれいえ。
また，x 軸，y 軸，z 軸上にあるものを，それぞれいえ。
(1)　OA= U 2 2 + 0 -11 2 + 4 2 = U 21
(2)　AB= U 0 -2 - 51 2 + 0 0 + 11 2 + 0 -1 + 31 2 =3U 6
s　xy 平面：O，C，G，H；yz 平面：O，E，F，H；zx 平面：O，B，C，F ;
x 軸：O，C；y 軸：O，H；z 軸：O，F
解説
xy 平面：O，C，G，H
yz 平面：O，E，F，H
zx 平面：O，B，C，F
x 軸：O，C　y 軸：O，H　z 軸：O，F
[改4SB問90]空間における三角形の形状決定"改訂版 4STEPＢ０８１～０９０#
次の 3 点を頂点とする三角形はどのような三角形か。
(1)　A 0 1，1，51 ，B 0 4，3， -11 ，C 0 -2，1，21
(2)　A 0 1，2，31 ，B 0 3，1，51 ，C 0 2，4，31
s　(1)　BA=BC の二等辺三角形　(2)　4A=90, の直角三角形
解説
(1)　AB= U 0 4 - 11 2 + 0 3 - 11 2 + 0 -1 - 51 2 =7
CA= U 0 1 + 21 2 + 0 1 - 11 2 + 0 5 - 21 2 =3U 2
よって，△ABC は BA=BC の二等辺三角形である。
点 P 0 2，7， - 11 から，xy 平面，yz 平面，zx 平面に下ろした垂線をそれぞれ PL，PM，(2)　AB= U 0 3 - 11 2 + 0 1 - 21 2 + 0 5 - 31 2 =3
PN とするとき，3 点 L，M，N の座標を求めよ。
s　L0 2，7，01 ，M0 0，7，-11 ，N0 2，0，-11
BC= U 0 2 - 31 2 + 0 4 - 11 2 + 0 3 - 51 2 = U 14
CA= U 0 1 - 21 2 + 0 2 - 41 2 + 0 3 - 31 2 = U 5
AB 2 + CA 2 = BC 2 であるから，△ABC は4A=90, の直角三角形である。
解説
L 0 2，7，01 ，M 0 0，7， -11 ，N 0 2，0， -11
[改4SB問91]定点から等距離にある,座標軸上,座標平面上の点"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
(1)　2 点 A 0 1，2，31 ，B 0 2，3，41 から等距離にある y 軸上の点 P の座標を求めよ。
[改4SB問88]点Pと各座標平面,座標軸に関して対称な点の座標"改訂版 4STEPＢ０８１～０９０#
点 P (4，2，-1) に対して，次の点の座標を求めよ。
(1)　xy 平面に関して対称な点 A　(2)　yz 平面に関して対称な点 B
(3)　zx 平面に関して対称な点 C　(4)　x 軸に関して対称な点 D
ゆえに　0 x - 11 2 + 0 -21 2 + 0 z - 31 2 = 0 x - 31 2 + 0 -21 2 + 0 z + 11 2
よって　x -2z =0 …… ①
また，AP=CP から　AP 2 = CP 2
ゆえに　0 x - 11 2 + 0 -21 2 + 0 z - 31 2 = 0 x + 11 2 + 0 -11 2 + 0 z - 21 2
よって　2x + z =4 …… ②
①，② を解いて　x =
8
4
，z =
5
5
8
BC= U 0 -2 - 41 2 + 0 1 - 31 2 + 0 2 + 11 2 =7
[改4SB問87]点Pから各座標平面に下ろした垂線の足の座標" 改訂版 4STEPＢ０８１～０９０#
9
AP=BP から　AP 2 = BP 2
ゆえに，求める点 P の座標は　O 0 0，0，01 A 0 1，2， -31 B 0 1，0，41 C 0 2，0，01 D 0 1，1，41
E 0 0，1，21 F 0 0，0， -41 G 0 1，3，01 H 0 0，1，01 I 0 -2， -3， -11
15
，0
2
(2)　P は zx 平面上にあるから，その座標を 0 x，0，z 1 とする。
よって，求める角 h は　45,
[改4SB問86]xy,yz,zx平面上にある点,x,y,z軸上にある点"改訂版 4STEPＢ０８１～０９０#
9
解説
(2)　3 点 A 0 1，2，31 ，B 0 3，2， -11 ，C 0 -1，1，21 から等距離にある zx 平面上の点 P
の座標を求めよ。
8
4
，0，
5
5
9
[改4SB問92]3頂点が既知の正四面体の第4の頂点の座標" 改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
[改4SB問94]平行六面体,ベクトルの相等,ベクトルの分解"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
正四面体の 3 つの頂点が A 0 0，1， -21 ，B 0 2，3， -21 ，C 0 0，3，01 であるとき，第 4
平行六面体 ABCD-EFGH において，AB= a，
の頂点 D の座標を求めよ。
(1)　各頂点を始点，終点とする有向線分で表されるベク
8
9
トルのうちで，a，b，c に等しいものを，それぞれ求
(2)　次のベクトルを，それぞれ a，b，c を用いて表せ。
D 0 x，y，z1 とする。
1
a+b +c 1
20
解説
AB= d，AD= e，AE= f とする。
F
c
D
b
A
a
であるから
B
a = d + e …… ①，　b = d + f …… ②，
(2)　(ア)　-a + b + c　(イ)　-a - b + c　(ウ)　-a + b - c
ここで，①～③ の辺々を加えて　a + b + c =20 d + e + f 1
(エ)　-a - b - c
よって　d + e + f =
ゆえに　0 x - 21 2 + 0 y - 31 2 + 0 z + 21 2 = x 2 + 0 y - 31 2 + z 2
解説
よって　x - z =2 …… ②
ゆえに　AG=
(1)　a に等しいベクトルは　EF，HG，DC
CD=AB から　CD 2 = AB 2
c に等しいベクトルは　DH，CG，BF
よって　x 2 + 0 y - 31 2 + z 2 =8 …… ③
①，② から　y =-z +1，x = z +2 …… ④
(2)　(ア)　BH=BA+AD+DH=-a + b + c
これを ③ に代入して　0 z + 21 2 + 6 0 -z + 11 - 37 2 + z 2 =8
(イ)　CE=CD+DA+AE=-a - b + c
ゆえに　z0 3z +81 =0
(ウ)　FD=FE+EH+HD=-a + b - c
8
3
1
a+b +c 1
20
1
a+b +c 1
20
[改4SB問97]平行六面体,ベクトルの等式の証明"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
平行六面体 ABCD-EFGH において，次の等式が成り立つことを示せ。
(1)　AG-BH=DF-CE　(2)　3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
(エ)　GA=GH+HE+EA=-a - b - c
s　(1)　略　(2)　略
解説
④ から，z =0 のとき　x =2，y =1
AB= a，AD= b，AE= c とすると
8
2
11
のとき　x =- ，y =
3
3
3
[改4SB問95]平行六面体,ベクトルの分解 " 改訂版 4STEPＢ０９１～１００ #
2 11
8
したがって，点 D の座標は　0 2，1，01 または - ，
，3
3
3
8
平行六面体 ABCD-EFGH において，線分 EG と線分 FH の交点を P とする。
9
AB= a，AD= b，AE= c とするとき，AP，PC を，それぞれ a，b，c を用いて表せ。
u　△ABC は AB=BC=CA=2U 2 の正三角形である。
DF=DC+CB+BF= a - b + c
CE=CD+DA+AE=-a - b + c
[改4SB問93]正四面体の辺の中点を通る直線と辺が垂直の証明"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
解説
DF-CE= 0 a - b + c 1 - 0-a - b + c 1 =2a
正四面体 ABCD の辺 CD の中点を E とし，A から
1
1
AP=AE+EP=AE+ EG=AE+ 0EF +FG1
2
2
A
CD5EH であることを証明せよ。
=c+
D
B
H
E
C
また　PC=AC-AP= 0AB +BC1 -AP
8
=
P
G
E
1
1
1
a + b1 = a + b + c
20
2
2
1
1
= 0a + b1 - a + b + c
2
2
H
9
c
F
D
b
A
a
B
1
1
a+ b -c
2
2
s　略
解説
△ACD は正三角形で，点 E は辺 CD の中点であるから　CD5AE
よって　CD5平面 AEH
ゆえに　CD5EH
[改4SB問96]平行六面体,ベクトルの演算,分解"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
平行六面体 ABCD-EFGH において，AC= a，AF= b，AH= c とするとき，AG を
a，b，c を用いて表せ。
よって　AG-BH=DF-CE
(2)　3BH+2DF=30-a + b + c 1 +20 a - b + c 1
=-a + b +5c
C
G
E
BH=BA+AD+DH=-a + b + c
(1)　AG-BH= 0 a + b + c 1 - 0-a + b + c 1 =2a
底面 BCD に垂線 AH を下ろす。このとき，
H
AG=AB+BC+CG= a + b + c
1
1
1
1
s　AP= a + b + c，PC= a + b - c
2
2
2
2
また，AH5平面 BCD であるから　CD5AH
B
b に等しいベクトルは　BC，FG，EH
ゆえに　x 2 + 0 y - 31 2 + z 2 = 0 2 - 01 2 + 0 3 - 11 2 + 0 -2 + 21 2
z =-
C
d
よって　y + z =1 …… ①
2
D
A
c = e + f …… ③
2
また　AG=AB+BC+CG= d + e + f
よって　z =0，-
F
f e
s　(1)　a =EF=HG=DC，b =BC=FG=EH，c =DH=CG=BF
BD=CD から　BD = CD
G
E
AH=AD+DH
C
ゆえに　x 2 + 0 y - 11 2 + 0 z + 21 2 = x 2 + 0 y - 31 2 + z 2
2
H
AC=AB+BC，AF=AB+BF
(ア)　BH　(イ)　CE　(ウ)　FD　(エ)　GA
四面体 ABCD が正四面体であるための条件は　AD=BD=CD=AB
AD=CD から　AD = CD
E
めよ。
解説
2
H
G
AD= b，AE= c とする。
2 11
8
s　0 2，1，01 または - ，， 3
3
3
s　AG=
2AG+3CE+2BC=20 a + b + c 1 +30-a - b + c 1 +2b
=-a + b +5c
よって　3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
c
F
D
b
C
A
a
B
[改4SB問98]ベクトルの和,差,実数倍と成分,大きさ"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
ゆえに　x =6，y =
a = 0 1， -1，21 ，b = 0 0，2，11 ，c = 0 2， -1， -21 であるとき，次のベクトルを成分で
1
1
，z =2
2
(6)　b - a　(7)　2a +3b　(8)　2a -3b + c　(9)　-2a - 0 c -4b 1
s　順に　(1)　0 2， -2，41 ，2U 6 (2)　0 0，6，31 ，3U 5 (3)　0 -1，1， -21 ，U 6 (4)　0 0， -8， -41 ，4U 5 (5)　0 1，1，31 ，U 11
(2)　平行四辺形の 3 つの頂点が A 0 2，1， -31 ，B 0 -1，5， -21 ，C 0 4，3， -11 である
[改4SB問100]成分で表されたベクトルの分解"改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
p = sa + tb + uc (s，t，u は実数) の形に表せ。
s　(1)　0 -2，2， -11 (2)　0 7， -1， -21 ，0 1，7，01 ，0 -3，3， -41
(1)　p = 0 0，3，121 (2)　p = 0 -2，2，91
解説
(1)　頂点 D の座標を 0 x，y，z1 とする。
s　(1)　p = a +2b - c　(2)　p =-2a +3b
解説
解説
(1)　2a =20 1， -1，21 = 0 2， -2，41 ，　2a = U 2 2 + 0 -21 2 + 4 2 =2U 6
(2)　3b =30 0，2，11 = 0 0，6，31 ，　3b = U 0 2 + 6 2 + 3 2 =3U 5
(3)　-a =-0 1， - 1，21 = 0 -1，1， -21 ，　-a = U 0 -11 2 + 1 2 + 0 -21 2 = U 6
(4)　-4b =-40 0，2，11 = 0 0， -8， -41 ，　-4b = U 0 2 + 0 -81 2 + 0 -41 2 =4U 5
とき，第 4 の頂点 D の座標を求めよ。
a = 0 1，2，31 ，b = 0 0，2，51 ，c = 0 1，3，11 のとき，次のベクトル p を
(6)　0 -1，3， -11 ，U 11 (7)　0 2，4，71 ，U 69 (8)　0 4， -9， -11 ，7U 2
(9)　0 -4，11，21 ，U 141
(1)　4 点 A 0 3，4，11 ，B 0 4，2，41 ，C 0 -1，0，21 ，D を頂点とする平行四辺形 ABCD
がある。頂点 D の座標を求めよ。
表せ。また，その大きさを求めよ。
(1)　2a　(2)　3b　(3)　-a　(4)　-4b　(5)　a + b
[改4SB問102]空間における平行四辺形の第4の頂点の座標"改訂版 4STEPＢ１０１～１１０#
sa + tb + uc = s0 1，2，31 + t0 0，2，51 + u0 1，3，11
= 0 s + u，2s +2t +3u，3s +5t + u1
(1)　p = sa + tb + uc とすると
四角形 ABCD が平行四辺形であるための条件は　AD=BC
よって　0 x -3，y -4，z -11 = 0 -1-4，0-2，2 -41
ゆえに　x -3=-5，y -4=-2，z -1=-2
したがって　x =-2，y =2，z =-1
求める頂点 D の座標は 0 -2，2， -11
(2)　D0 x，y，z1 とする。題意の平行四辺形は
0 0，3，121 = 0 s + u，2s +2t +3u，3s +5t + u1
[1] 平行四辺形 ABCD　[2] 平行四辺形 ABDC
よって　s + u =0，2s +2t +3u =3，3s +5t + u =12
[3] 平行四辺形 ADBC
(5)　a + b = 0 1， -1，21 + 0 0，2，11 = 0 1，1，31
これを解いて　s =1，t =2，u =-1　a + b = U 1 2 + 1 2 + 3 2 = U 11
ゆえに　p = a +2b - c
(6)　b - a = 0 0，2，11 - 0 1， -1，21 = 0 -1，3， -11
(2)　p = sa + tb + uc とすると
b - a = U 0 -11 2 + 3 2 + 0 -11 2 = U 11
0 -2，2，91 = 0 s + u，2s +2t +3u，3s +5t + u1
よって　0 x -2，y -1，z +31 = 0 4+1，3-5， -1 +21
ゆえに　x -2=5，y -1=-2，z +3=1
(7)　2a +3b =20 1， -1，21 +30 0，2，11 = 0 2， -2，41 + 0 0，6，31 = 0 2，4，71
2a +3b = U 2 2 + 4 2 + 7 2 = U 69
(8)　2a -3b + c =20 1， -1，21 -30 0，2，11 +0 2， - 1， - 21
2a -3b + c = U 4 2 + 0 -91 2 + 0 -11 2 =7U 2
(9)　-2a - 0 c -4b 1 =-2a - c +4b
=-20 1， -1，21 - 0 2， -1， -21 +40 0，2，11
= 0 -2，2， -41 - 0 2， -1， -21 +0 0，8，41
= 0 -4，11，21
-2a - 0 c -4b1 = U 0 -41 2 + 11 2 + 2 2 = U 141
よって　s + u =-2，2s +2t +3u =2，3s +5t + u =9
したがって　x =7，y =-1，z =-2
[2] の場合　AB=CD
ゆえに　p =-2a +3b
よって　0 -1-2，5-1， -2 +31 = 0 x -4，y -3，z +11
ゆえに　-3= x -4，4= y -3，1= z +1
したがって　x =1，y =7，z =0
[改4SB問101]点の座標とベクトルの成分,大きさ"改訂版 4STEPＢ１０１～１１０#
[3] の場合　AD=CB
O 0 0，0，01 ，A 0 0，1，21 ，B 0 1， -1，11 ，C 0 2，1， -11 のとき，次のベクトルを成分
で表せ。また，その大きさを求めよ。
よって　0 x -2，y -1，z +31 = 0 -1-4，5-3， -2 +11
ゆえに　x -2=-5，y -1=2，z +3=-1
(1)　OA　(2)　OC　(3)　AB　(4)　AC　(5)　BC
したがって　x =-3，y =3，z =-4
以上から　0 7， -1， -21 ，0 1，7，01 ，0 -3，3， -41
s　順に　(1)　0 0，1，21 ，U 5 (2)　0 2，1， -11 ，U 6 (3)　0 1， -2， -11 ，U 6
(4)　0 2，0， -31 ，U 13 (5)　0 1，2， -21 ，3
解説
[改4SB問99]ベクトルの等式が成り立つように成分決定" 改訂版 4STEPＢ０９１～１００#
a = 0 3，y，z1 ，b = 0 x，1， -11 のとき，2a - b =0 が成り立つように，x，y，z の値を
(1)　OA= 0 0，1，21 OA = U 0 2 + 1 2 + 2 2 = U 5
(2)　OC= 0 2，1， -11 OC = U 2 2 + 1 2 + 0 -11 2 = U 6
(3)　AB= 0 1-0， -1-1，1 -21 = 0 1， -2， -11
定めよ。
AB = U 1 2 + 0 -21 2 + 0 -11 2 = U 6
s　x =6，y =
1
1
，z =2
2
解説
2a - b =20 3，y，z1 - 0 x，1， -11 = 0 6- x，2y -1，2z +11
2a - b =0 とすると　0 6- x，2y -1，2z +11 = 0 0，0，01
よって　6- x =0，2y -1=0，2z +1=0
[1] の場合　AD=BC
これを解いて　s =-2，t =3，u =0
= 0 2， -2，41 - 0 0，6，31 + 0 2， -1， -21
= 0 4， -9， -11
の 3 つの場合が考えられる。
(4)　AC= 0 2-0，1-1， -1 -21 = 0 2，0， -31
AC = U 2 2 + 0 2 + 0 -31 2 = U 13
(5)　BC= 0 2-1，1- 0 -11 ， -1 -11 = 0 1，2， -21
BC = U 1 2 + 2 2 + 0 -21 2 =3
[改4SB問103]ベクトルx=a+tbの大きさが最小になるベクトルx"改訂版 4STEPＢ１０１～１１０#
[改4SB問105]平行六面体の4頂点から他の頂点の座標"改訂版 4STEPＢ１０１～１１０#
a = 0 0，1，21 ，b = 0 2，4，61 とする。x = a + tb (t は実数) について， x の最小値を求め 4 点 A 0 1，1，21 ，B 0 0， -4，01 ，C 0 -1，1， -21 ，D 0 2，3，51 がある。線分 AB，AC，
AD を 3 辺とする平行六面体の他の頂点の座標を求めよ。
よ。また，そのときの x を成分で表せ。
4
1 2
21
s　x = - ， - ，
のとき， x は最小値 U
7
7 7
7
8
9
解説
平行六面体を ABFD-CEHG とし，原点を O とする。
解説
x = a + tb = 0 0，1，21 + t0 2，4，61 = 0 2t，1+4t，2 +6t1
2
よって　x = 0 2t 1 2 + 0 1 + 4t 1 2 + 0 2 + 6t 1 2 =56t 2 +32t +5
8
=56 t +
ゆえに， x
s　0 -2， -4， -41 ，0 1， -2，31 ，0 0，3，11 ，0 -1， -2， -11
2
2
7
9
2
+
3
7
2
は t =- のとき最小となる。
7
x ) 0 であるから，このとき x も最小となる。
その最小値は　]
8
AC = 0 -1 - 1，1 - 1， - 2 - 21
= 0 -2，0， - 41
AD= 0 2-1，3-1，5 -21 = 0 1，2，31
四角形 ABEC，ABFD，ACGD，BEHF が平行四辺形
E
G
= 0 -1， -5， -21
C
F
B
D
A
であるから
OE=OB+BE=OB+AC= 0 0， -4，01 + 0 -2，0， -41 = 0 -2， -4， -41
3
21
=U
7
7
2
4
1 2
また，t =- のとき　x = - ， - ，
7
7
7 7
H
AB= 0 0-1， -4-1，0 -21
OF=OB+BF=OB+AD= 0 0， -4，01 + 0 1，2，31 = 0 1， -2，31
9
OG=OC+CG=OC+AD= 0 -1，1， -21 + 0 1，2，31 = 0 0，3，11
OH=OF+FH=OF+AC= 0 1， -2，31 + 0 -2，0， -41 = 0 -1， -2， -11
よって，求める座標は　[改4SB問104]ベクトルa+xb+ycの大きさの最小値とx,yの値"改訂版 4STEPＢ１０１～１１０#
a = 0 1，-1，-31 ，b = 0 2，2，11 ，c = 0 -1，-1，01 とする。 a + xb + yc を最小にす
る実数 x，y の値を求めよ。
s　x =3，y =6
解説
a + xb + yc = 0 1，-1，-31 + x0 2，2，11 + y0 -1，-1，01
= 0 2x - y +1，2x - y -1，x -31
2
よって　a + xb + yc = 0 2x - y + 1 1 2 + 0 2x - y - 1 1 2 + 0 x - 3 1 2
=20 2x - y1 2 + 0 x - 31 2 +2
ゆえに， a + xb + yc
2
は 2x - y =0，x -3=0 のとき，すなわち x =3，y =6 のとき最
小となる。
a + xb + yc ) 0 であるから，このとき a + xb + yc も最小となる。
よって，求める x，y の値は　x =3，y =6
0 -2， -4， -41 ，0 1， -2，31 ，0 0，3，11 ，0 -1， -2， -11

Download Report