シュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式

シュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式
量子力学における基本的な運動方程式であるシュレーディンガー方程式とハイゼンベルク方程式を導出します。
演算子にハットをつけてませんが、混乱しないと思います。
古典的な運動方程式は運動の時間変化を表わす方程式なので、同じように状態の時間変化の式を作ります。時
間発展をさせる演算子 U というのを導入して、状態の時間変化を
U (t, t0 )|ϕ; t0 ⟩ = |ϕ; t⟩
と書きます。これは時間 t0 で状態が |ϕ0 ; t0 ⟩ だったものが微小時間 ∆t の経過後の時間 t で状態が |ϕ; t⟩ になった
ことを表わしているとします。このとき、同じ状態による ⟨ϕ|ϕ⟩ は時刻に関係なく規格化されているべきなので
⟨ϕ; t0 |ϕ; t0 ⟩ = ⟨ϕ; t0 |U † U |ϕ; t0 ⟩ = ⟨ϕ; t|ϕ; t⟩
⇒ U †U = 1
これより、U はユニタリーであることがわかります。また、時間発展を表すものなので
U (t2 , t1 )U (t1 , t0 )|ϕ; t0 ⟩ = U (t2 , t1 )|ϕ; t1 ⟩ = |ϕ; t2 ⟩
となることから
U (t2 , t1 )U (t1 , t0 ) = U (t2 , t0 )
という性質を持たせます (ユニタリー行列同士の積はユニタリー行列)。この性質から U に対する微分方程式を作
ることが出来ます。t2 が t2 = t1 + ∆t だとすると、U (t2 , t1 ) を ∆t ので展開すると
U (t1 + ∆t, t1 )U (t1 , t0 ) = U (t1 + ∆t, t0 )
(U (t1 , t1 ) + ∆t
∂U (t, t1 )
|t=t1 + · · · )U (t1 , t0 ) =
∂t
U (t1 , t1 ) は時間が経過していないことを表すので
U (t1 , t1 ) = 1
というのが要求され
1
(1 + ∆t
∂U (t, t1 )
|t=t1 + · · · )U (t1 , t0 ) = U (t1 + ∆t, t0 )
∂t
U (t1 + ∆t, t0 ) − U (t1 , t0 ) = ∆t
∂U (t, t1 )
|t=t1 U (t1 , t0 ) + · · ·
∂t
U (t1 + ∆t, t0 ) − U (t1 , t0 )
∂U (t, t1 )
=
|t=t1 U (t1 , t0 ) + · · ·
∆t
∂t
∂U (t1 , t0 )
= A(t1 )U (t1 , t0 )
∂t1
∂U (t, t0 )
= A(t)U (t, t0 )
∂t
下から 2 行目に行くときに ∆t = 0 の極限をとっていて、右辺の「· · · 」には ∆t が残っているためにこの極限で消
えます。最後の行は任意の時間 t という意味で書き換えています。もし A(t) が t に依存していないとするなら
∂U (t, t0 )
= AU (t, t0 )
∂t
U (t, t0 ) = exp[A(t − t0 )]
となります (U (t0 , t0 ) = 1 が初期条件)。つまり、演算子 A が時間発展を握っています。
状態 |ϕ; t⟩ に対しても演算子 A が時間発展を握っています。U を ∆t の 1 次までで展開すると (後で ∆t = 0 の
極限を取ると ∆t の二次以上は消えるから)
U (t0 + ∆t, t0 ) = U (t0 , t0 ) +
∂U (t, t0 )
|t=t0 ∆t = 1 + A(t0 )∆t
∂t
これを |ϕ; t0 ⟩ に作用させれば
U (t, t0 )|ϕ; t0 ⟩ = (1 + ∆tA(t0 ))|ϕ; t0 ⟩ = |ϕ; t0 + ∆t⟩
なので |ϕ; t0 ⟩ に対する微分方程式として
|ϕ; t0 + ∆t⟩ − |ϕ; t0 ⟩ = ∆tA(t0 )|ϕ; t0 ⟩
|ϕ; t0 + ∆t⟩ − |ϕ; t0 ⟩
= A(t0 )|ϕ; t0 ⟩
∆t
d
|ϕ; t0 ⟩ = A(t0 )|ϕ; t0 ⟩
dt0
d
|ϕ; t⟩ = A(t)|ϕ; t⟩
dt
ここでも ∆t = 0 の極限を取り、最後に任意の時間 t という意味で書き換えています。このように状態に対しても
演算子 A が時間発展を担っています。また、時間発展演算子の方程式から
2
∂U (t, t0 )
= AU (t, t0 )
∂t
∂
U (t, t0 )|ϕ; t0 ⟩ = AU (t, t0 )|ϕ; t0 ⟩
∂t
∂
|ϕ; t⟩ = A|ϕ; t⟩
∂t
として求めることもできます。
この演算子 A はエネルギー演算子 (エネルギーを固有値とする演算子)H だということを要求 (仮定) します。次
元合わせのために、iℏ もつけて (H はエネルギーの次元、ℏ はエネルギー × 時間の次元)
∂U (t, t0 )
H(t)
=
U (t, t0 )
∂t
iℏ
(A(t) =
H(t)
)
iℏ
とします。よって状態に対して
iℏ
d
|ϕ; t⟩ = H(t)|ϕ; t⟩
dt
これを、シュレーディンガー方程式やシュレーディンガーの運動方程式と呼びます。この式はエネルギーについて
測定することは状態 |ϕ; t⟩ の時間変化と同じだと言っています (というより、量子論はこのことを仮定している)。
もしくは、単純に微分方程式だと見てしまえば、状態の時間依存性 (時間発展) はエネルギー演算子 H が握ってい
ると言い換えられ、これがシュレーディンガー方程式の重要な意味です。ちなみに、大体の場合において H は時
間に依存しないようにします (時間依存すると簡単には解けないから)。
解析力学からの対応でも言っておきます。解析力学において、運動量は位置の変化、ハミルトニアンは時間の変
化を起こす生成子になっています (解析力学の「正準変換」参照)。そして、「もろもろな内容」での量子化の項で
触れたように、運動量演算子は状態の位置の変化を起こします。なので、時間発展を起こす演算子 H はハミルト
ニアン演算子と考えられます、つまり、解析力学との対応を踏まえると、量子論における時間発展はハミルトニア
ンによって記述すると考えられます。しかも、ハミルトニアンはエネルギーに対応するので、エネルギー演算子と
しての側面も持たせることが出来ます。
後は、|ϕ; t⟩ を波動関数だとすることで、一般的なよく見る波動関数によるシュレーディンガー方程式になりま
す。結論を先に言えば、|ϕ; t⟩ は位置表示を使うことで 3 次元での波動関数 ψ(x, t) (x = (x, y, z)) となり、H はハ
ミルトニアンとして位置と運動量を演算子化すればいいです。
ハミルトニアンを自由粒子にポテンシャル V (x) をつけた
H=
p2
+ V (x)
2m
この形で与え、p を量子化（演算子化）することによってよく見るシュレーディンガー方程式になります。実際に
⟨x| を左につけて
iℏ⟨x|
d
|ϕ; t⟩ = ⟨x|H|ϕ; t⟩
dt
左辺では時間微分は位置に作用しないので微分は外に出て、右辺では波動関数の項で見たように、x はそのまま
x に、p が微分演算子 −iℏ∂/∂x になるので
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iℏ⟨x|
d
|ϕ; t⟩ = ⟨x|H|ϕ; t⟩
dt
iℏ
iℏ
∂
ℏ2
⟨x|ϕ; t⟩ = −
(∇2 + V (x))⟨x|ϕ; t⟩
∂t
2m
∂
ℏ2
ψ(x, t) = −
(∇2 + V (x))ψ(x, t)
∂t
2m
このように波動関数によるシュレーディンガー方程式になります (ポテンシャル V での自由粒子のシュレーディン
ガー方程式)。左辺の時間微分が偏微分になっているのは x に作用しないからです。方程式の形が波動方程式と同
じになっていることからも分かるように (左辺が 1 階の時間微分ですが虚数があるために同じ意味になっている)、
シュレーディンガー方程式は量子論という概念を外せば、ただの波を記述する方程式です。特殊なのは、水面の波
や電磁場とは違い、確率を表す波だというだけです。
また、今のようにハミルトニアンに時間依存性がないとして、ψ(x, t) = F (t)G(x) と仮定すれば
iℏ
∂
ℏ2
ψ(x, t) = −
(∇2 + V (x))ψ(x, t)
∂t
2m
iℏG(x)
iℏ
dF (t)
ℏ2
= −
F (t)(∇2 + V (x))G(x)
dt
2m
1 dF (t)
ℏ2 1
= −
(∇2 + V (x))G(x)
F (t) dt
2m G(x)
と書けます。そうすると、左辺は t のみ、右辺は x のみの式になっていて、それが等しいことから
iℏ
1 dF (t)
=E
F (t) dt
−
ℏ2 1
(∇2 + V (x))G(x) = E
2m G(x)
として、同じ定数 E になっているはずです。これから時間の方の式から
iℏ
dF (t)
= Edt
F (t)
F (t) = Ce−iEt/ℏ
となります (C は定数 )。よって、G(x) を ψ(x) と書くことして、ψ(x, t) = Ce−iEt/ℏ ψ(x) とすることで、シュ
レーディンガー方程式は
−
ℏ2
(∇2 + V (x))ψ(x) = Eψ(x)
2m
となります。これを時間に依存しないシュレーディンガー方程式といい、定数 E をエネルギーと見なします (左辺
がハミルトニアン演算子だから、その固有値はエネルギー。もしくはド・ブロイ波から E はエネルギー)。この形
で書けるときを定常状態と言います。
このように波動関数に対するシュレーディンガー方程式は波としての性質を記述するものです。なので、2 重ス
リットの実験に代表される電子は波としての性質を持っている、という部分を数式化したものだと言えます。ここ
で重要になってくるのは電子は粒子と波の 2 重性を持っているという点で、シュレーディンガー方程式は波動性し
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か記述しません。つまり、粒子性については教えてくれていません。ここで言っている粒子性は量子論の中での粒
子性のことで、量子論が支配する領域での粒子と粒子がぶつかって散乱するといった話です。散乱問題はシュレー
ディンガー方程式からも十分計算できますが (確率振幅さえ分かればいいため)、粒子としての本質的な意味を含
めることが出来ません。これを改善するのが場の量子論であり、第二量子化 (場の量子化) と呼ばれる手続きです。
ちなみに、ここでは時間発展の演算子がハミルトニアンだと仮定してシュレーディンガー方程式を作りました
が、先に波であることからシュレーディンガー方程式を仮定すれば、そこから時間発展演算子がハミルトニアン
だと求めることもできます (ここでの話を逆に辿っていけばいい)。ようは与えられた状況から実験結果を再現す
るためには何を仮定すればいいのかというだけです。
次にシュレーディンガー方程式からカレント (current) を作ります。カレントは、流体力学なんかで出てくる流
束 (flux) に対応する量です。定義としては、単位時間、単位面積あたりに入ってくる量です (電磁気学の「マクス
ウェル方程式・ゲージ変換」参照)。つまり、次元としては入ってくる量の次元を X 、時間を T 、長さを L とする
と XT −1 L−2 で与えられます。
例えば、入ってくる量が質量を持った粒子であるなら、X は質量の次元になります (この場合では質量流束と呼
ばれたります)。電磁気での電流密度も同じです (定義によっては単位面積が外れます)。いまいちはっきりしない
ですが、流束は流体とか熱のような移動現象を考えている場合、カレントは電流に関連する場合に使われている
ようです (電流密度が current density だからと解析力学での保存カレントから)。ここではカレントとしていきま
す。ちなみに、電磁気では電束密度 (electric flux density) もありますが、こっちは電荷から出ている電気力線を
見ているもので、流束扱いされます。
シュレーディンガー方程式
iℏ
∂
ℏ2
ψ(x, t) = −
(∇2 + V )ψ(x, t)
∂t
2m
の複素共役を取ると
−iℏ
∂ ∗
ℏ2
ψ =−
(∇2 + V )ψ ∗
∂t
2m
元のシュレーディンガー方程式には ψ ∗ をかけ、複素共役を取ったほうには ψ をかけてみると
iℏψ ∗
ℏ2 ∗ 2
∂
ψ=−
(ψ ∇ ψ + V ψ ∗ ψ)
∂t
2m
− iℏψ
∂ ∗
ℏ2
ψ =−
(ψ∇2 ψ ∗ + V ψψ ∗ )
∂t
2m
V の項での ψ ∗ ψ は入れ替えても問題ないので、二つの式を引くと
iℏψ ∗
∂
∂
ℏ2 ∗ 2
ψ + iℏψ ψ ∗ = −
(ψ ∇ ψ − ψ∇2 ψ ∗ )
∂t
∂t
2m
iℏ
∂ ∗
ℏ2 ∗ 2
(ψ ψ) = −
(ψ ∇ ψ − ψ∇2 ψ ∗ )
∂t
2m
∂ ∗
ℏ
(ψ ψ) = −
(ψ ∗ ∇2 ψ − ψ∇2 ψ ∗ )
∂t
2im
ψ ∗ ψ は「もろもろな内容」での確率密度や波動関数の項で見たように、確率密度 P だと解釈することができます。
右辺を
ψ ∗ ∇2 ψ − ψ∇2 ψ ∗ = ∇ · (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
と書き換えることで
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∂ ∗
ℏ
(ψ ψ) +
∇ · (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) = 0
∂t
2im
∂
P +∇·J =
∂t
となり、連続の方程式の形になります。このときの J がシュレーディンガー方程式に対応するカレント (確率の
流れ密度) になります。このように物質の流れではなく、確率の流れに対応したものとして連続の方程式が出てき
ます。
ちなみに
ψ ∗ ∇ψ = (Reψ − iImψ)∇(Reψ + iImψ) = ψR ∇ψR + ψI ∇ψI + iψR ∇ψI − iψI ∇ψR
ψ∇ψ ∗ = (Reψ + iImψ)∇(Reψ − iImψ) = ψR ∇ψR + ψI ∇ψI − iψR ∇ψI + iψI ∇ψR
Reψ, Imψ は ψ の実部と虚部で、Reψ = ψR , Imψ = ψI としています。これらを使うと
J=
ℏ
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2im
=
ℏ
(ψR ∇ψR + ψI ∇ψI + iψR ∇ψI − iψI ∇ψR − (ψR ∇ψR + ψI ∇ψI − iψR ∇ψI + iψI ∇ψR ))
2im
=
ℏ
(ψR ∇ψI − ψI ∇ψR )
m
これは ℏψ ∗ ∇ψ/im の実部と等しいので
J = Re(
ℏ ∗
ψ ∇ψ)
im
となっています。
シュレーディンガー方程式の変形として、プランク定数を消した形を求めます。量子論では、プランク定数を
含んでいない部分とプランク定数を含んでいる部分による和の形が出てきます。プランク定数はミクロな物理に
対する定数であることから、そのような式は古典的な項に量子的な寄与が加わっていることを表します。そして、
プランク定数を 0 にした極限は古典的な場合と見ることもできます。マクロな現象を説明する古典的な方程式に
プランク定数が表われてはおかしいというのは直感的に正しいと思えます。
このようなプランク定数の分離の例としてシュレーディンガー方程式の変形を見ます。状況を分かりやすくする
ために演算子にはハットをつけます。シュレーディンガー方程式
iℏ
∂
ψ(x, t) = Ĥψ(x, t)
∂t
i
に対して ℏ → 0 とすれば、左辺が 0 になってしまいます。しかし、ψ(x, t) = e ℏ S ϕ(x, t) として（S は座標と時間
を変数に持ちます）、プランク定数を外に出してみます。そうすると
iℏ
i
∂S
∂ϕ i S
e ℏ + ϕe ℏ S
∂t
∂t
∂ϕ ∂S
+
ϕ
iℏ
∂t
∂t
i
= Ĥe ℏ S ϕ(x, t)
= e− ℏ S Ĥe ℏ S ϕ(x, t)
i
i
右辺のハミルトニアン演算子は位置演算子 q̂ と運動量演算子 p̂ を含むので、位置 q は特に影響を受けませんが、運
動量演算子のほうは影響を受けて
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e− ℏ S p̂e ℏ S = e− ℏ S (e ℏ S p̂ +
i
i
i
i
∂S − i S
∂S
∂
∂S
e ℏ ) = p̂ +
= −iℏ
+
∂q
∂q
∂q
∂q
ここでは交換関係
i
i
i
i
[p̂, e ℏ S ] = p̂e ℏ S − e ℏ S p̂ == −iℏ
i
i
∂e ℏ S
∂
∂
∂S i S
− iℏe ℏ S
+ iℏe ℏ S
=
eℏ
∂q
∂q
∂q
∂q
を使っています。そうするとハミルトニアン演算子は変数として q と p̂ +
∂S
の二つを持つようになります。よっ
∂q
てシュレーディンガー方程式は
iℏ
∂ϕ ∂S
∂
∂S
+
ϕ = Ĥ(q, −iℏ
+
)ϕ(x, t)
∂t
∂t
∂q
∂q
という形になります。これの ℏ → 0 とすると、ハミルトニアン演算子にはもはや演算子の要素はなくなるので演
算子ではなく
∂S
∂S
ϕ(x, t) = H(q,
)ϕ(x, t)
∂t
∂q
となり、方程式の中からプランク定数は消えます。ここまでくると ϕ(x, t) にはなんの演算子も掛かっていないの
で消してしまうと、左辺は S の時間微分、右辺は位置と S の座標微分という形になります。よって、シュレーディ
ンガー方程式は少しいじる事でプランク定数を含まない形にでき、古典的な方程式に変更することができます。
最後にハイゼンベルク方程式を求めます。ここから演算子にハットを付けないで書いています。ある観測 A を
行ったとして、それの観測結果の平均 (期待値) は対応する演算子 A0 によって
⟨a⟩ = ⟨ψ|A0 |ψ⟩
で与えられます。もし、状態が時間 t に依存しているとして、その状態を |ϕ; t⟩ と書くことにすれば期待値は
⟨a(t)⟩ = ⟨ϕ; t|A0 |ϕ; t⟩
と与えられます。
これとは別にシュレーディンガー方程式
iℏ
d
|ϕ; t⟩ = H|ϕ; t⟩
dt
を持ち出します。ハミルトニアンは時間依存していないとします。これを初期状態 t = 0 を |ϕ0 ⟩ として解くと
|ϕ; t⟩ = e−iHt/ℏ |ϕ0 ⟩
そうすると期待値 ⟨a(t)⟩ は
⟨a(t)⟩ = ⟨ϕ0 |eiHt/ℏ A0 e−iHt/ℏ |ϕ0 ⟩
つまり、こうしてみると
A(t) = eiHt/ℏ A0 e−iHt/ℏ
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という時間に依存する演算子 A(t) が表われたように見ることができます。そして iℏA(t) として時間で微分すると
（A, H は演算子だということに気をつける）
iℏ
dA(t)
dt
( iH
iH −iHt/ℏ )
= iℏ
eiHt/ℏ A0 e−iHt/ℏ − eiHt/ℏ A0
e
ℏ
ℏ
= −HA(t) + A(t)H
= [A(t), H]
この求まった方程式
iℏ
dA(t)
= [A(t), H]
dt
これをハイゼンベルク方程式やハイゼンベルクの運動方程式と呼びます。
シュレーディンガーとハイゼンベルクどちらの運動方程式も物理的には全く同じことを言っています。ハミルト
ニアンが時間依存していないとしましたが、時間依存していてもこの形になります。また、A0 が時間依存しない
としましたが依存しているなら
iℏ
(
dA(t)
∂A0 −iHt/ℏ iH iHt/ℏ
iH −iHt/ℏ )
= iℏ eiHt/ℏ
e
+
e
A0 e−iHt/ℏ − eiHt/ℏ A0
e
dt
∂t
ℏ
ℏ
= iℏ
∂A(t)
+ [A(t), H]
∂t
(
∂A(t)
∂A0 −iHt/ℏ
= eiHt/ℏ
e
)
∂t
∂t
となります。
何が違うのかというと、シュレーディンガーの方程式では波動関数 (ブラケット) に時間依存性を含めることで
系の時間発展を記述しているのに対して、ハイゼンベルクの方程式は演算子の方の時間発展によって記述してい
ます。これは見方の違いで、状態を止まって観測するか、状態と一緒に動いて観測するかの違いのようなもので
す。状態に時間依存を持たせる見方をシュレーディンガー描像 (表示) と言い、演算子に時間依存を持たせる見方
をハイゼンベルク描像 (表示) と言います。
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