命題 P：「 0 + a = aa + b = b + a + b = b 0+0 = 0 +0=0 = 0 0 × a = 0

レポート課題第 2 回【4/26 10:20a.m. 締切】
問 1.1(5) 命題 P ：「xy = 0 ならば x = 0 または y = 0」が真であることを証明せよ．
の解答例 [1]∼[19] について吟味せよ．特に，証明として通用するか？それを理解するための前提条件は何か？
に着目して解答せよ．
何を出発点としているかで，証明の道筋は変わってきますが，ひとつの証明の道筋を解説とともに示してお
きましょう．この命題 P の証明をきちんと理解して自分で書けるように！というわけではありません．
まず，x や y を実数，あるいは整数や自然数と限定し，xy は四則演算の積，x × y を意味するものとします．
次に，0 とは何か？これは大変難しい問題です．小学校で最初に登場する 0 は，10 や 20 という数を表現す
るための記号としての 0 です．そして，足し算を習うときに，
「どんな数に 0 を足しても答えは変わらない」と
いう性質を学びます．これは，大学数学の一分野である「代数学」における「加法の単位元としての 0」を意
味しています．つまり，a を任意に与えられた実数とするとき，
【加法単位元】
0+a=a
なお，このような元が一つしかない（加法単位元の一意性）ことは，a, b を任意に与えられた実数として，
【加法の交換法則】
a+b=b+a
を前提とすることで証明ができます．
証明：加法単位元が一つではないと仮定すると，加法単位元 0, 0′ が存在して 0 ̸= 0′ である．また，
加法単位元の定義より，a, b を任意の実数として，
0 + a = a,
かつ
0′ + b = b
0 + 0′ = 0′ ,
かつ
0′ + 0 = 0
が成り立つ．a = 0′ , b = 0 とおくと
交換法則より，0 + 0′ = 0′ + 0 なので 0′ = 0．これは矛盾である．ゆえに，加法単位元は一つである．
このように定義された 0 について，皆さんもよく知っている「どんな数に 0 をかけても答えは 0 になる」と
いう事実
0×a=0
···
⃝
1
はどのように示されるのでしょうか？これは，a, b, c を任意に与えられた実数として，
【加法に対する乗法の分配法則】
(a + b)c = ac + bc
を前提として，加法単位元の一意性から示されます．
証明：分配法則より，
(0 + b)a = 0 × a + ba
が成り立つ．ここで，0 + b = b であることとから
ba = 0 × a + ba,
∴
0 × a + ba = ba.
ゆえに，加法単位元の一意性から，0 × a = 0 が成り立つ．
2
なお，⃝
1 は命題 P の逆命題が真であることを示していることに注意してください．
命題 P 自身が真であることを証明するために，さらなる準備をしておきましょう．掛け算についても単位元
を考えることができます．掛け算を習う時に学ぶことですが，どんな数に 1 をかけても答えは変わりません．
つまり，
「乗法の単位元としての 1」です．a を任意の実数とするとき，
【乗法単位元】
1×a=a
乗法単位元の一意性は，加法の場合と同様
【乗法の交換法則】
ab = ba
を前提とすることにより証明できます．
乗法単位元 1 を用いて，乗法の逆元を定義しましょう．任意の実数 a, b に対して，
【乗法の逆元】
ab = 1
となるとき，a を乗法に関する b の逆元といいます．b ̸= 0 のとき，逆元が必ず存在することは実数の構成方
法により保証されますが，その説明は長くなるので省きます．簡単にいうと，実数は b ̸= 0 の乗法に関する逆
元が存在するように構成されています．逆元 a は，与えられた b に対してただ一つに決まること（乗法に関す
る逆元の一意性）は，乗法の交換法則と
【乗法の結合法則】
(ab)c = a(bc)
により証明できます．
証明：一意性が成り立たないとする．このとき，与えられた b に対して，相異なる a, a′ が逆元である
とする．すなわち，
ab = 1
かつ
a′ b = 1
である．このとき，単位元の定義，結合法則，交換法則を用いて，
a′ = 1 × a′ = (ab)a′ = a(ba′ ) = a(a′ b) = a × 1 = 1 × a = a.
すなわち，a = a′ となり矛盾．ゆえに逆元は一意に決まる．
以上で準備が整いました．実際に命題 P を証明しましょう．
(i) x = 0 のときは，x = 0 または y = 0 が真である．
(ii) x ̸= 0 のとき，x の乗法に関する逆元 x′ がただひとつ存在して，x′ x = 1 をみたす．乗法単位元の定義
と結合法則より，
y = 1 × y = (x′ x)y = x′ (xy).
一方，xy = 0 のとき，乗法の交換法則と⃝
1 より，
x′ (xy) = x′ × 0 = 0 × x′ = 0.
したがって，y = 0．すなわち，xy = 0 のとき x = 0 または y = 0 は真である．
高等学校までに慣れ親しんできた算数や数学は，ある程度直観に基づいたものから展開されています．しか
し，本来「数学」という学問は，直感に基づくものを出発点とするのではなく，必要最小限の約束事（公理系）
がきちんと準備され，それに基づきいろいろな性質が導かれています．もちろん，その約束事というのは，直
感から得られる性質となんら矛盾が無いよう構築されています．
レポート課題についてですが，正解というものを明示すべき事柄ではないので，コメントのみ記しておきま
す．参考にしてください．
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【解答例 1】もとの命題と対偶命題の真偽が一致することを用いた証明．「x ̸= 0 かつ y ̸= 0 ならば xy ̸= 0」を証明
せよ，という問題であればどうするか？そういう意味では，証明というよりも，示したい命題 P の言い
換えに過ぎない．
【解答例 2】まさに，解答例１の不備を指摘しているコメントです．
【解答例 3】背理法による証明．「x ̸= 0 かつ y ̸= 0 ならば xy ̸= 0」であることを前提としているが，これは，示す
べき命題 P の対偶命題が真であることを前提にしている．
【解答例 4】「0 でない数をかけて 0 になることはありえない」という表現は不十分です．「0 でない数をかけあわせ
て 0 になることはありえない」と言いたいのでしょう．これは，解答例 3 と同じで，命題 P の対偶命題
を前提としている．
【解答例 5】示すべき命題 P の日本語解釈．
【解答例 6】同上．
【解答例 7】示すべき命題 P の対偶命題の日本語解釈．
【解答例 8】確かに，必要十分条件として当然のごとく使ってきましたが，この問題は，そのうちの必要条件である
ことを示せという問題．
【解答例 9】「0 をかけると積は必ず 0 になる」を前提としているが，これを認めたとしても，「よって」以降の主張
との間にギャップがある（説明不足）．
【解答例 10】同上．
【解答例 11】「よって」より前に示したことは，命題 P の逆命題が真であること．「よって」以降につなげるには
ギャップがある．
【解答例 12】同上．
【解答例 13】x ̸= 0 のときと y ̸= 0 のときの二つに場合分けをしているが，場合分けとしてすべてを網羅するには
x = y = 0 の場合も考えるべき．
【解答例 14】「以上より」の後にギャップがある．
【解答例 15】同上．
【解答例 16】対偶ではなく，裏命題．裏命題と元の命題との真偽は一般に一致しない．
【解答例 17】背理法とするのなら，「xy = 0 ∩ (x ̸= 0∩ ̸= 0)」を仮定すべき．
【解答例 18】「x = 0 または y = 0 ならば xy = 0」の証明につながるかもしれないが，これは命題 P の逆命題であ
り，これを示しても P の証明にはならない．
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