企画 ・ 構成 す う が く せ コンパスと定規で描ける図形の世界 か い じょう 数学 の 世界 を の ぞいて み よう！ 執筆 ・編集 ： 佐藤 かい づけ き じ に とう へん さん かく けい てい かく こん かい ぎゃく せい しつ に かく に とう へん さん かく けい しょうめい に けい あたら こん ひと ぽん げん かく にん に かく ひと さん かく けい にゅう こん ぽん げん り つか てん りょう たん かく たが ひと おな ちゅう し ん はん けい がわ か たが カ かく ます。 もん だい ひと さん かく けい さん かく けい かく R カ＝ウ かく キ ひと け っ きょく かく へん かく へん かさ へん あいだ かく どう よう かんが へん 2 つ の 三 角 形 を △ ABC と △ PQR と し、 かく A みぎ かく かく かく かく へん てん ひと かさ 形 は ぴ っ た り 重 な る 」 こ と を 使 っ て、 B ア イ C たい R と重 なり、残 りの頂 点 が QR に対 して おな がわ か 頂 点 P と同 じ側 にあるように描 いてみる と……。 ほか ほう しん かんが こん ぽん げん り ず か ちゅう い かた さん かく けい かさ ず しょう めい つか こん ぽん げん り き じ よ ひと さん こう はじめてこの記事を読む人は参考にしてください。 〈根本原理〉 じょう ぎ てん とお ちょくせん ひ ・定規で、２点を通る直線が引ける。 てん ちゅう しん ・コンパスで、与 えられた点 を中 心 とし、 あた はん けい えん か 与えられた半径の円が描ける。 たが ひと さん かく けい かさ ・三 辺 が互 いに等 しい三 角 形 はぴったり重 かく たが ひと なる（3 つの角も互いに等しい）。 に へん あいだ かく たが ひと さん かく けい かさ のこ ・二 辺 とその間 の角 が互 いに等 しい三 角 形 はぴったり重 なる（残 りの かく たが ひと いっ ち かさ に とう へん さん かく けい てい かく ひと ・二等辺三角形の底角は等しい。 てん じゅん ばん いっ ちょく せん じょう ・3 点 A、B、C が こ の 順 番 で 一 直 線 上 に あ る な ら ば、BA と BC の な かく ど ぎゃく かく ど す角 は 180 度 であり、逆 に、BA と BC のなす角 が 180 度 ならば、 かさ け っ きょく てん じゅんばん いっちょくせんじょう 3 点 A、B、C がこの順番で一直線上にある。 たいちょうかく ひと ・対頂角は等しい。 しょう め い ちょく せん さっ かく い ち かく ひと ちょく せん へい こう ・２直 線 において、錯 角 の位 置 の角 が等 しければ、その 2 直 線 は平 行 ちょくせん に ちょう てん ちょう てん よ である。 三 角 形 を、2 頂 点 が△ PQR の 2 頂 点 Q、 のこ ち ひと ちょう てん かさ い かさ そこで、△ ABC と三 辺 が互 いに等 しい さん かく けい いっ ち P しょうめい たが ち はぴったり重なることが証明できました。 △ ABC と△ PQR がぴったり重 なること さん ぺん い △ ABC と△ XQR もぴったり重 なるので、結 局、△ ABC と△ PQR かさ を証明したいわけです。 ひと か へん かりました。 さん かく つか てん ちょう て ん こ の と き、「 三 辺 が 互 い に 等 し い 三 角 けい つか 辺と角も互いに等しい）。 △ PQR は３つの頂点の位置が一致したので、ぴったり重なるとわ ず たが かさ したがって、点 X と点 P の位 置 は一 致 するとわかり、△ XQR と BC= QR、角ア = 角カ、角イ = 角キ、（右 ちょう てん かく と辺 RP も重なるとわかります。 さん かく けい さん ぺん りょう たん を描 いたり証 明 したりするときに使 う根 本 原 理 をまとめておきます。 さん ぺん かく 角 エ = 角 イ、角 イ = 角 キより、角 エ = 角 キがわかるので、辺 RX かた の図）とします。 かさ あた かく 辺 QP が重なるとわかります。 考え方 かく いっ ぺん さん かく けい つか △ XQR の 二 辺 RX と RQ の 間 の 角 を エ と し、 同 様 に 考 え る と、 かく せつ めい こん ぽん げん り かく に かく じ コンパスの使 い方 や三 角 形 がどんなときにぴったり重 なるかなど、図 すると、△ XQR と△ PQR において、角ウ＝角カなので、辺 QX と しょうめい 根本原理を使って証明してください。 かんが かんが 証明のための根本原理と図を描くときの注意 Q ひと 角ウ＝角カになります。 かさ ことを、「三 辺 が互 いに等 しい三 角 形 はぴったり重 なる」という つか ひと しょう めい ここで、△ ABC の角 アと△ PQR の角 カも等 しかったので、結 局、 かさ 「一 辺 とその両 端 の角 が互 いに等 しい三 角 形 はぴったり重 なる」 こん ぽん げん り り よう その証明ができた人は、ぜひ、他の方針も考えてみてくださいね。 エ と QR の間 の角 をウとすると、△ ABC 問題1 ひと たが ひと かく あいだ かく たが かさ P の角 アと△ XQR の角 ウは等 しくなり さん ぺん かく しょう めい キ しくなりますから、△ XQR の二 辺 QX かんが たが ほ じょ せん 角が互いに等しい三角形はぴったり重なる」も使って良いです。 X かく とお に へん しょう。 かく さん かく けい つまり、三 角 形 の 3 つの角 が互 いに等 ま ず は、 こ の 原 理 の 証 明 を 考 え て み ま りょう たん R ひと さん かく けい ちょう てん う。もちろん、この記 事 で説 明 したばかりの「一 辺 とその両 端 の エ ウ Q かた ぴったり重なります。 かた き かさ げん り いっ ぺん かんが いろいろな考 え方 がありますが、まずは、頂 点 A を通 る補 助 線 を たい たが かた ひ △ XQR は、三 辺 が互 いに等 しいので、 いっ C B 引き、2 つの三角形がぴったり重なることの利用を考えてみましょ てん ず A ひと 考え方 えん ちょく せ ん かく C X P えん す る と、 図 の 描 き 方 か ら、 △ ABC と さん かく けい しょう めい はん けい と同じ側にある点を X とします。 ぴったり重なる」という原理です。 げん り ちゅう し ん の 交 点 の う ち、 直 線 QR に 対 し て、P 辺 とその両 端 の角 が互 いに等 しい三 角 形 は かさ B かんが こう てん C B ここで新 しく導 入 する根 本 原 理 は、「一 ぺん かく イ ア と点 R を中 心 とし半 径 AC の円 の 2 つ しょう めい こん ぽん げん り かく あいだ しょうめい かく さん ぺん どう にゅう しょう めい ら証明してください。 かく あいだ かく かんが あたら けい こん ぽん げん り を キ、BC= QR、 角 ア = 角 カ、 角 イ = 入 して、その根 本 原 理 を使 って証 明 するこ とを考えていきます。 かく あいだ てん ぴったり重 なるための新 しい根 本 原 理 を導 かく AB= AC である」ことを、根 本 原 理 か さらに、点 Q を中 心 とし半 径 AB の円 どう さん 角 と CA と CB の間 の角 が等 しければ、 かく QR の間 の角 をカ、RP と RQ の間 の角 さん かく けい こん ぽん げん り A かく と CB の 間 の 角 を イ、 △ PQR の QP と り 三 角 形 である」ことを、いろいろな方 針 で あたら へん かく △ ABC の BA と BC の間 の角 をア、CA ほう しん かさ とう 「 △ ABC に お い て、BA と BC の 間 の 角キとします。 証 明 できるのですが、ここでは、三 角 形 が かい あいだ あいだ いるので、「二 角 が等 しい三 角 形 は二 等 辺 しょう めい かい チャレンジ問題 2 つの三 角 形 を△ ABC と△ PQR とし、 に とう へん さん かく けい に さん かく けい A すでに、たくさんの根 本 原 理 を確 認 して ひと 証明 さん 三角形がぴったり重なるための新しい根本原理 こん ぽん げん り せ せ もん だい かんが かさ か けい 第10 回 「二角が等しければ二等辺三角形」をどう証明しよう？ あいだ かく かく しょう めい 角形は二等辺三角形である」ことの証明を考えてみましょう。 さん ず かい ひと ことを証 明 しました。今 回 は、その逆 の性 質 である「二 角 が等 しい三 かく けい か 〜ユークリッド幾 何 の世 界 〜 太郎 第 ５回（5 月 19 日付 ）の記 事 で、「二 等 辺 三 角 形 の底 角 は等 しい」 しょう めい ぎ き だい だい http://www.seg.co.jp/ バックナンバーは右記アドレスにて公開中！ > | 科学的教育グループ Q カ キ かく ひと に とう へん さん かく けい しょう めい 二角が等しければ二等辺三角形になることの証明は？ R ひと さん かく けい に とう へん さん かく けい しょう めい それでは、二 角 が等 しい三 角 形 は二 等 辺 三 角 形 になることの証 明 に と く もん だい がん ば かんが 取 り組 みましょう。チャレンジ問 題 にするので、頑 張 って考 えてみて くださいね。 ちょくせん たい さっ かく い ち かく ひと さん かく けい ない かく わ ど ・三角形の内角の和は 180 度である。 ず に かく へい こう ・2 直線が平行であれば、その 2 直線に対する錯角の位置の角が等しい。 か ちゅう い 〈図を描くときの注意〉 じょう ぎ め もり い がい つか ちょく せん ひ ・定規は目盛がないものとします。直線を引くこと 以外には使えません。 チャレンジ問題の解答は、4面をご覧ください。 このコーナーは原則として、毎月第3週の木曜日に掲載します。
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