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2016 年度制御工学 II 第 8 回小テスト (模範解答)
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2016 年度制御工学 II 第 8 回小テスト (模範解答)
5 年 E 科番号
[問題]
氏名
開ループ伝達関数は,
図 1 のフィードバック制御系について，以下の問い
に答えよ。
P (s) =
K(s) =
KP (1 + jω)
jω(j2ω + 1)(j3ω + 1)
KP (1 + jω)
−5ω 2 + jω(1 − 6ω 2 )
−5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 )
KP (1 + jω)
2
2
−5ω + jω(1 − 6ω ) −5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 )
−5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 ) + jω(−5ω 2 − jω(1 − 6ω 2 ))
KP
25ω 4 + ω 2 (1 − 6ω 2 )2
−4ω 2 − 6ω 4 + jω(−1 + ω 2 )
KP
(2)
25ω 4 + ω 2 (1 − 6ω 2 )2
L(jω) =
1
s(2s + 1)(3s + 1)
KP (1 + s)
=
=
(1) ベクトル軌跡が実軸と交わるときの角周波数 ωpc
=
を求めよ。
(2) フィードバック制御系が安定となるゲイン KP の
範囲を求めよ。
=
となる。実軸と交わるとき， L(jω) の虚数成分が 0 と
r +
K(s)
−
u
P(s)
なることから周波数 ωpc は (2) 式の虚数成分に注目す
y
ると,
−1 + ω 2 = 0
(3)
を満たす ω となるので
図 1: フィードバック制御系
ωpc = 1
(解答)
PD 補償を用いると，開ループ伝達関数 L(s) は次の
(4)
となる。次に，実軸との交点を求める。(4) 式を (2) 式
に代入する。
ように計算できる。
L(s) = P (s)K(s) =
KP (1 + s)
s(2s + 1)(3s + 1)
(1)
L(jωpc ) =
またベクトル軌跡の概形は，図 2 のようになる。
Im
−1
=
−4 − 6
25 + (1 − 6)2
1
−10
= − KP
KP
50
5
KP
(5)
安定であるためには, 実軸との交点が −1 より大きけ
Re
ればよい，つまり
−KP
L(j!)
1
> −1
5
であればよい。よって, 安定のための Kp の条件は
Kp < 5
図 2: ベクトル軌跡
よって，実軸との交点が −1 より右側にあれば安定
なので，この条件からゲイン KP を求める。初めに，ベ
クトル軌跡が実軸と交わる周波数 ωpc を求める。
(6)
となる。
(7)

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