Quantenmechanik I Serie 4.

Quantenmechanik I
Serie 4.
HS 2016
Prof. Thomas Gehrmann
Ausgabe: 10. Oktober 2016
http://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY331/HS2016.html
Übung 1.
[Streuung an der endlichen Potentialbarriere]
Betrachte die Streuung eines von x = −∞ einfallenden Teilchenstromes an der Potentialbarriere
(
V0 für x ∈ − a2 , a2
V (x) =
, wobei V0 > 0 .
0
sonst
(a) Berechne die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten R(E) und T (E) für die Teilchenenergien 0 < E < V0 und E > V0 .
(b) Skizziere die Energieabhängigkeit von R(E) für Energien E > V0 und interpretiere das
Ergebnis.
(c) Skizziere die Ortswahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x)|2 für Energien 0 < E < V0 . Wie verhält
sich die Durchlässigkeit T (E) in diesem Energiebereich im Grenzwert grosser Barrierenbreite a?
Übung 2.
[Dynamik im δ-Potential]
Im Folgenden untersuchen wir das eindimensionale, attraktive Potential
V (x) = −
~2 α
δ(x) ,
2m
wobei
α>0.
(1)
(a) Wie lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für dieses Potential?
(b) Zeige mit Hilfe dieser Schrödinger-Gleichung, dass die Eigenfunktionen ψ(x) eine unstetige
Ableitung der Form
lim [∂x ψ() − ∂x ψ(−)] = η ψ(0)
→0
haben. Welchen Wert nimmt η für das gegebene Potential an? Was ändert sich, wenn man
zu V (x) ein stetiges Potential U (x) addiert?
(c) Gib die allgemeine Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für Energien E <
0 im Bereich x < 0 und x > 0 an.
(d) Wie viele gebundene Zustände hat dieses Potential? Bestimme die zugehörigen Energien
und gib die normierten Wellenfunktionen an.
Übung 3.
[Matrixdarstellung von Orts- und Impulsoperator]
Seien ψξ (x) = δ (x − ξ) und ψp =
√ 1 eipx/~
2π~
die Eigenfunktionen von Orts- und Impulsoperator.
(a) Berechne die Matrixelemente von x̂, p̂ und p̂2 in Ortsdarstellung, d.h.
xξξ0 = hξ| x̂ ξ 0 ,
pξξ0 = hξ| p̂ ξ 0 ,
p2ξξ0 = hξ| p̂2 ξ 0 .
(b) Berechne die Matrixelemente von x̂, p̂ in Impulsdarstellung, d.h.
xpp0 = hp| x̂ p0 ,
ppp0 = hp| p̂ p0 .
1
Übung 4.
[Streumatrix und Transfermatrix]
Man kann die Streutheorie auf einfache Weise auf beliebige (lokale) Potential erweitern, indem
man feststellt, dass die Lösung ausserhalb des Streubereichs (d.h. in I und III) durch ebene
Wellen gegeben sein muss, d.h.
ψI (x) = A ei kx + B e−i kx ,
ψIII (x) = C ei kx + D e−i kx .
Wie auch immer das Potential V (x) in Bereich II nun aussieht, da die Schrödingergleichung eine
lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, wird man immer einen linearen Zusammenhang
zwischen den Koeffizienten der freien Wellen finden, d.h.,
B
S11
S12
A
C
M11
M12
A
=
oder
=
.
C
S21
S22
D
D
M21
M22
B
Die Matrix S nennt man Streumatrix, sie verbindet einfallende und auslaufende Zustände. Die
oftmals sehr nützliche Transfermatrix M gibt den Zusammenhang zwischen linksseitigen und
rechtsseiten Zuständen an.
(a) Gib die Elemente der Matrix M ausgedrückt durch die Elemente von S an.
(b) Betrachte ein Potential, dass auf zwei getrennten Abschnitten nicht verschwindet. Sei M1
die Transfermatrix für den ersten Abschnitt und M2 diejenige für den zweiten. Zeige, dass
die gesamte Transfermatrix dann gegeben ist durch M = M2 · M1 .
(c) Bestimme die S-Matrix und die M -Matrix für die Streuung am δ-Potential (siehe Gleichung 1).
(d) Gib die M -Matrix für zwei aufeinander folgende δ-Potentiale an, d.h. für
V (x) = −
~2 α
~2 β
δ(x) −
δ(x − a) ,
2m
2m
2
wobei α, β, a > 0 .
(2)

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