Übungen zu Theoretische Physik 4
WS 2016/17
Blatt 13
Abgabe zu Beginn der Vorlesung am 24.1.
Übung 1.
Bestimmen Sie den Spin der Zustände | + +i und | − −i, d.h. überprüfen Sie, dass dies
~ 2 sind und bestimmen Sie s, so dass der Eigenwert ~2 s(s + 1) ist.
Eigenvektoren von S
Zeigen Sie, dass {ψ1,1 , ψ1,0 , ψ1,−1 } = {| + +i, |ψs i, | − −i} mit dem normierten Zustand
8 P.
1
|ψs i := √ (| + −i + | − +i)
2
eine Basis des Darstellungsraums für Spin 1 sind. Dazu müssen Sie
p
S3 ψ1,m = ~mψ1,m ,
(S1 ± iS2 )ψ1,m = ~ 2 − m2 ∓ mψ1,m±1
zeigen, wobei ψ1,2 = ψ1,−2 = 0 (man erinnere sich an Abschnitt 6.1 des Skripts).
Übung 2.
Wir betrachten den harmonischen Oszillator mit Federkonstante q. Wir schreiben
Ĥ =
4 P.
1 2 k 2 q−k 2
P̂ + X̂ +
X̂ .
2 } |{z}
|2m {z 2 } | {z
Ĥ 1
Ĥ 0
λ
Bestimmen Sie die Korrektur En1 zu En in erster Ordnung Störungstheorie und
p überprüfen
Sie, ob En0 + λEn1 in erster Ordung in λ mit der korrekten Energie En = ~ q/m(n + 21 )
übereinstimmt (durch Taylorentwicklung von En um k bis zur ersten Ordnung). Hinweis:
Verwenden Sie (5.34) aus dem Skript.
Übung 3.
In der Behandlung des Wasserstoff-Atoms haben wir den Kern als punktförmig angenommen, und entsprechend das Coulomb-Potenzial verwendet. Nun wollen wir annehmen, dass
der Kern eine Ausdehnung hat. Wir modellieren ihn als gleichmässig geladene Kugel mit
Radius R. Deren Potenzial ist durch
(
3
r2
− 2R
r<R
e
3
2R
ϕR (~x) =
1
4πε0 r
r≥R
(+6 P.)
gegeben. Wir betrachten den Hamiltonoperator für einen punktförmigen Kern als Ĥ 0 und
den durch
λĤ 1 ψ(~x) = −e (ϕR (r) − ϕ0 (r)) ψ(~x)
definierten Operator als Störung. Bestimmen Sie die Korrektur erster Ordnung der Grundzustandsenergie. Dabei können Sie
!
Z y
n
m
X
y
e−x xn dx = n! 1 − e−y
m!
0
m=0
oder Computeralgebra und die normierte Grundzustandswellenfunktion
φ0 (~x) =
1
1
2
3
2
e
− ar
0
π a0
mit dem Bohr-Radius
a0 =
4πε0 ~2
' 5.3 × 10−11 m
me2
verwenden. Werten Sie das Ergebnis aus für R = 1 × 10−15 m und vergleichen Sie mit der
Grundzustandsenergie für den punktförmigen Kern.
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