Punkte und Vektoren im Raum

Punkte und Vektoren
im Raum
Einstieg in die analytische Geometrie
Aufgabe ist es heute eine Lampe genau in
der Mitte eines Raumes aufzuhängen
Bekannt sind uns:
–
die Länge des Raumes 4 m
–
die Breite des Raumes 3 m
–
die Höhe des Raumes 2 m
und
Wo muss die Lampe aufgehängt werden?
Löst das Problem schriftlich!!!
Ein alltägliches Problem!
●
●
Wie seid ihr vorgegangen?
Wie lässt sich dieses Vorgehen mathematisch
beschreiben?
Vorgehen!!!
1Man zeichnet den Raum.
Aber wo muss die
Lampe hin?
Der Raum
Mathematische Begriffe
2. Einen gemeinsamen Anfangspunkt festlegen
Den Anfangspunkt
nennt man
Ursprung!
Ursprung
Der Raum
Mathematische Begriffe
3. Koordinatenachsen festlegen
Die Geraden, die sich im Ursprung treffen,
nennt man Koordinatenachsen!
Ursprung
Der Raum
Mathematische Begriffe
4. Beschriftung
Man benennt die Achsen mit x, y, und z
oder mit x1, x2 und x3
z-Achse
Der Raum
y-Achse
x-Achse
Mathematische Begriffe
Um die Lage von Punkten im Raum zu
beschreiben, verwendet man ein
räumliches Koordinatensystem mit drei
Achsen
z- oder x3 Achse
●
●
y- oder x2 Achse
●
x- oder x1 Achse
●
Die Achsen besitzen einen gemeinsamen Punkt (Nullpunkt / Ursprung)
Die Achsen sind paarweise orthogonal
zueinander
Auf den Achsen werden
Einheitsstrecken der selben Länge
festgelegt
Die Koordinatenachsen werden mit x, y,
z oder x1, x2, x3 beschriftet.
Ein kartesisches
Koordinatensystem im Raum
Je zwei Koordinatenachsen spannen
eine Koordinatenebene auf.
●
So spannen z.B.
●
x1- und x2 – Achse die x1x2-Ebene auf
●
●
… für die anderen Achsen
entsprechend!
Die Ebenen stehen paarweise
orthogonal zueinander.
Ein kartesisches
Koordinatensystem im Raum
1. Man zeichnet die x2- und x3Achse wie beim ebenen
Koordinatensystem die x- und yAchse
2. Längeneinheiten auf beiden
Achsen sind 1 cm (in der Regel)
3. Die x1- Achse zeichnet man in
einem 45° Winkel gegen die x2Achse
4. Die Einheit auf der x1-Achse wird
verkürzt dargestellt und entspricht
dann der Länge der Diagonalen
eines Kästchens.
Ein räumliches kartesisches
Koordinatensystem zeichnen
Die Punkte in dem räumlichen
Koordinatensystem werden, ähnlich
wie im ebenen Koordinatensystem,
nacheinander aufgeschrieben.
Um auf den Punkt zu kommen, startet
man im Ursprung und wandert auf den
Achsen bzw. parallel dazu.
Beispiel:
3 Einheiten in x1 – Richtung
4 Einheiten in x2 – Richtung und
2 Einheiten in x3 – Richtung
Dann lautet P (3 / 4 / 2).
Punkte im räumlichen
Koordinatensystem
Wo befindet sich die Lampe in unserem Raum?
●
Zeichnet ein Koordinatensystem.
●
Zeichnet dort den Raum ein.
●
Beschriftet die Eckpunkte des Raumes und den
Aufhängepunkt der Lampe.
=> Wie lauten die Eckpunkte des Raumes und
der Lampe als Zahlentripel?
Zurück zu unserer Lampe
1,5 Einheiten
nach vorne
2 Einheiten
nach rechts
E5
E8
1 Einheiten
nach oben
E6
L
E7
E4
E2
E1 (0 / 0 / 0)
E2 (3 / 0 / 0)
E3 (3 / 4 / 0)
E4 (0 / 4 / 0)
E5 (0 / 0 / 2)
E6 (3 / 0 / 2)
E7 (3 / 4 / 2)
E8 (0 / 4 / 2)
L (1,5 / 2 / 1)
E3
Die Punkte in unserem Beispiel
Die Lage von Punkten im Raum lässt sich auch durch Vektoren
darstellen.
Die Vektoren beschreiben die
Verschiebung in die x1-, x2- und
x3- Richtung.
p
Ein Ortsvektor ist die
Verschiebung des Ursprungs zu
einem Punkt P, man schreibt statt
Punkt P (3 / 4 / 2):
3
p=4
2
Der Vektor – Bewegung im Raum
1. Ein Vektor mit drei Koordinaten ist ein
geordnetes Zahlentripel, das wir als Spalte
schreiben. Zur Abkürzung bezeichnen wir
Vektoren mit kleinen Buchstaben und einem
darüber gesetzten Pfeil.
v
1
v = v2
v3
0
2. Der Vektor 0 = 0 bezeichnen wir als Nullvektor.
0
Definition Vektor

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