3,2,1,0,1,2,3... - - - = Z

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA
2011 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR
ESTANDARES:
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Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros, sus operaciones y propiedades.
Represento en el plano cartesiano la relación entre dos variables enteras.
Reconozco ángulos y segmentos semejantes, utilizo sus propiedades para resolver problemas prácticos relacionados con estos.
Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones, construcciones, propiedades y postulados geométricos.
Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas como tablas, listas, diagramo de tallo y hojas, entre
otros.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
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

Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones.
Efectuar operaciones con números enteros aplicando correctamente sus propiedades.
Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano.
Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros.
Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos.
Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados.
Utilizo algunas herramientas estadísticas para organizar datos.
INTRUDUCCIÓN
Esta guía está estructurada para un bimestre y está basado en el Conjunto de los Números Enteros, reglas y propiedades para
desarrollar operaciones del mismo.
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de
restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros
positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son
los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los números enteros (Z)
El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos
números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las
temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo.
El conjunto de los números enteros (Z) está formado por los números positivos y los números negativos junto con el 0.
Este conjunto suele representarse como sigue:
Z  ...  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, ...
EN GENERAL
POSITIVO
Tener dinero
Ganar
Subir
Años después de Cristo
Temperatura sobre cero
Altitud sobre el nivel del mar
Ir a la derecha
Ir al norte
NEGATIVO
Deber dinero
Perder
bajar
Años antes de Cristo
Temperatura bajo cero
bajo el nivel del mar
Ir a la izquierda
Ir al sur
OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO 1,
http://www.youtube.com/watch?v=vu0jlqzNjUw
LUEGO RESUEVA EL TALLER 1
TALLER 1. CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO
1.
Encuentra el numero entero que describe cada una de las siguientes situaciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Tu fecha de nacimiento_______________
b. El nacimiento de Jesucristo_________
La acción de la empresa multivalores se cotiza a 500 a la baja___________
La acción de Ecopetrol cotiza a 600 a la alza_________________
La temperatura en la sabana de Bogotá en época de invierno puede llegar a los 8°C bajo 0__________
Un submarino de la armada Nacional de Colombia puede navegar a distancia de 200 m bajo el nivel del mar___________
Vila del Rosario se encuentra a una altitud de 320 m sobre el nivel del mar___________________
La tienda la ultima lagrima tuvo un total de ventas por día de 2 000 000 ______________
Arquímedes fue un gran geómetra que nació en el año 640 antes de Cristo ________
2.
Escribe un número entero que describa la situación propuesta.
a.
b.
c.
d.
e.
3.
El monte Everest se encuentra a una altitud de 8 840 m sobre el nivel del mar __________
Villa del Rosario presenta una temperatura promedio de 20 grados centígrados________
Un submarino se encuentra a a una profundidad de 200 metros bajo el nivel del mar______________
Villa del Rosario y Cúcuta se encuentran separados por una distancia de 8 km.____________
María debe al señor de la tienda $10 500_______________
Completa según la imagen:

La gaviota está volando a _________ m _________
el nivel del mar.

El niño está buceando a _________ m _________
el nivel del mar.
4.

El pez está nadando a _________ m

El cangrejo se encuentra a _________ m

El pelícano vuela a _________ m.
Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros:
a)
–4
b) 7
c) +2
d) 0
e) –5
INTERACCION
Entre a la siguiente página y mecanice el tema anterior.
http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/todo_mate/numenteros/enteros_p.html
Entre a las subpáginas y realice as actividades propuestas en las mismas:

El ascensor y los números enteros

Las altitudes y los números enteros

El termómetro y los números enteros

La recta real.
ANOTA TUS RESUTADOS EN EL CUADERNO MÉTODO DE ESTUDIO.
OPUESTO DE UN NÚMERO
Es evidente que:
 lo contrario de deber dinero es tener dinero.
 lo contrario de ir hacia la derecha es ir hacia la izquierda.
 lo contrario de bajar es subir.
Por eso resulta fácil que entiendas el significado de opuesto.
 el opuesto de -3 es +3 y lo escribiremos así: Op (-3) = +3
 el opuesto de +6 es -6 y lo escribiremos así: Op (+6) = -6
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero.
Lo escribiremos así:
Op (+a) = -a
Op (-a) = +a
VALOR ABSOLUTO
Ubica el 3 y el -3, el 2 y el -2, el 1 y el -1, en la recta numérica
Se ve que cada número está a igual distancia del 0 que su opuesto. La distancia de un número al cero se llama
valor absoluto o módulo, y para indicarlo se encierra al número entre barras.
10  10
 3  3,
2 2
Ejemplo:  3  3 ,
ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros:



Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se puede ver como el
más alejado del 0.
Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el
más cercano a cero, más a la derecha, ejemplo -10< -5
Si un números es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo:
-4 < 2
OBSERVE El VIDEO No 2,
http://www.youtube.com/watch?v=xAUoM4PwAPA&feature=mfu_in_order&list=UL
LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 2
TALLER NÚMERO 2
1. Ubica cada entero y su opuesto en la recta numérica: 7; -13; 3; -(-4); 0; -5
2. ¿Cuál es el valor absoluto de 5; -6; -(-4); 0; 12?
3. ¿Cuál de estas opciones es imposible? a) a  0
b) a  0
4. Complete con < o > según corresponda:
a) -5 …….. 3
b) 3 ……. – 2
c)
d) 0 ….. – 4
e) -20 ….. -  3
5. Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso.
a) Mayores que – 8 y menores que 6_________________________________________________
b) Mayores que 10 y menores que 15________________________________________________
c) Menores que – 4 y mayores que – 12______________________________________________
d) Mayores que – 7 y menores que 0_________________________________________________
6. Ordena de mayor a menor los siguientes números: - 2, - 9, 10, 4, - 4 , 8, 7, - 2, - 3
7. Determina el valor absoluto de cada número:
a)  4
b) 8
c)  400
d) 900
e)  100
INTERACCIÓN
http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jcloze3
5.htm
http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jquiz36
.htm
UBICACIÓN DE LOS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan
en forma perpendicular: la recta horizontal se lama abscisa y a vertical
“ordenada”. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y
se cruzan en el cero.
La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su
distancia respecto de los ejes x e y.
El primer número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el desplazamiento
horizontal respecto del cero:
 positivo para los puntos ubicados a la derecha
 negativo para los puntos ubicados a la izquierda
El segundo número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el
desplazamiento vertical respecto del cero:
 positivo para los puntos ubicados hacia arriba
 negativo para los puntos ubicados hacia abajo
OBSERVE El VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=a0KE7NbPxJ8
LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 3
1. Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano.
a) (2,-4) b) (3, - 5)
c) (-6, -2)
d) (7, 2)
e) (0, 3)
f) (-2, 0)
g) ( 4, -1)
2. Encuentra a qué coordenada corresponde cada punto del plano
En este tema harás la interacción utilizando el
software Geogebra.
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar números enteros:
1. Si los sumandos son del mismo signo , se suman los valores absolutos y al resultado
se le pone el signo común. Ej.
3 + 5 = 8;
(−3) + (−5) = −8
2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le
restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor
absoluto. Ej.
− 3 + 5 = 2;
3 + (−5) = −2
Propiedades de la suma de núme ros enteros
1. Interna(modulativa):
El resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a + b
3 + (−5)
2. Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resu ltado. (a + b) + c = a + (b + c)
(2 + 3) + (−5) = 2 + [3 + (−5)] ;
5 − 5 = 2 + (−2);
0 = 0
3. Conmutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
2 + (−5) = (−5) + 2 ;
a + b = b + a
−3 = −3
4. Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo
Número.
a + 0 = a;
(−5) + 0 = −5
5. Elemento opuesto
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero .
a + (-a) = 0;
5 + (−5) = 0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
–(−5) = 5
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
La sustracción es una operación binaria que se efectúa entre dos números, llamados minuendo y sustraendo. El resultado de una
sustracción o resta se lama diferencia
a − b = a + (−b) ;
7 − 5 = 2
Propiedades de la resta de números enteros
1. Interna:
La resta dos números enteros es otro número entero.
a − b
;
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a − b ≠ b – a;
5 − 2 ≠ 2 − 5
OBSERVE los videos:
http://www.youtube.com/watch?v=jNH3yPHbrnc&feature=mfu_in_order&list=UL
http://www.youtube.com/watch?v=M7bbkuq07ck&feature=mfu_in_order&list=UL
http://www.youtube.com/watch?v=9ie9wdb6nXY&feature=mfu_in_order&list=UL
http://www.youtube.com/watch?v=9emnPSuE2Ag&feature=mfu_in_order&list=UL
LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 4
TALLER Nro. 4
1. Resuelva los siguientes
ejercicios:
a) 9-28=
b) 12-50=
c) 39-47=
d) 0-27=
e) 92-120=
f) -45-6=
g) -5-17=
h) 4-(+11)
i) -10-(-2)=
j) -6-(+13)=
k) 9-(-5)=
l) -3+(-4)=
ll) 28-30+2-7+1=
m) –(-1)+(-4)-(-2)+7=
n) 11+(-3)-(+2)-8=
o) 9-(-15)+2-8=
2. Anota el número de la columna “A” que corresponda en la “B” :
“A”
“B”
1) 5 + 0 = 5
____ Conmutativa
2) 2 + -3 = -3 + 2
____ Asociativa
3) 7 + -7 = 0
____ Neutro aditivo
4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2)
____ Inverso aditivo
RECUERDA: El signo + delante de paréntesis, corchetes o llaves, confirma su contenido y el signo – delante,
niega su contenido.
3. Suprimí ( , [ , { y luego resuelve la suma algebraica
Suprimí ( , [ , { y luego resuelve la suma algebraica.
PROBLEMAS DE NÚMEROS ENTEROS
1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 1 4 d. C. ¿Cuántos años
vivió? Rta. 77 años
2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un
depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? Rta. 1023 metros
3. ¿Qué
diferencia
de
temperatura
soporta
una
persona
q ue
pasa
de
la
cámara
de
conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que
está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? Rta.
4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada
300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a
qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?
5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25
l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros
de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento . Rta
725 litros
INTERACCIÓN
http://www.aaamatematicas.com/add65_x1.htm#pgtp
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
En general, la multiplicación y división de enteros
responde a los mismos procedimientos
(algoritmos) para operar con los naturales, el
cambio se da en el sentido de la estructura de
estos números y el manejo de las reglas de tipo
formal y operativos con los signos.
DE NÚMEROS ENTEROS
La multiplicación de varios números
enteros es otro número entero, que
tiene como valor absoluto el producto
de los valores absolutos y, como signo,
el que se obtiene de la aplicación de la
regla de los signos.
Regla de los signos
Ejemplos:
4. 8 = 32
;
- 6 . – 7 = 42
;
- 5 . 9 = -45;
10 . -20 = - 200
Observe el video:
http://www.youtube.com/watch?v=5mkLkNyvhJs&feature=mfu_in_order&list=UL
TALLLER 5
1. Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) 7 . 25
b) 5(-34)
f)-13(-17)(-2) g) -25(37)
c) 469(-68)
d) –(-82)6
e) – 33. 56. 12
h) -23(-7)(-14)
i) -25(-19)6
2. Realiza las siguientes divisiones:
a) 10 335
(-15)
e) -28 920
4.

(-60)
b) 267

f) 37 455
3

55
c) -2 047
23
g) -7 848

d) -12 483

19
24
Una empresa se encuentra vendiendo 2 645 acciones de su compañía en la bosa de
Valores, el corredor informa que cada acción presenta un valor de $ 37 561. Si un
Inversionista desea comprar todas las accio nes, ¿cuánto debe invertir para ello?
5. Si el mismo inversionista se da cuenta que tiene solo $56 641 500, responde:
a) ¿Cuántas acciones puede comprar?
b) ¿Cuántas acciones quedan para la venta?
INTERACCIÓN
http://www.aaamatematicas.com/g76_mux1.htm
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
a · b
;
2 · (−5)= - 10
2. Asociativa:
El modo de agrupar los factores no varía el resu ltado. Si a, b y c son números
enteros cualesquiera, se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] ;
3. Conmutativa:
6 · (−5) = 2 · (−15);
−30 = −30
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a ;
2 · (−5) = (−5) · 2 ;
-10 = -10
4. Elemento neutro:
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número
multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a ;
(−5) · 1 = (−5)
5. Distributiva:
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c ;
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = (−6) + (−10);
−16 = −16
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna :
El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.
(−2)

6
2. No es Conmutativo:
a

b ≠ b

a;

6
(−2) ≠ (−2)

6
TALLER 6
1. Resuelve los siguientes cálculos combinados:
a) (-14) . (+6) : (-21) + (-9) =
b) [- (-36) : (-4)]- (-5-8)- (-6) =
c) –{-24 : (-9+3) – [ -7 . (-11)] -1} : (-2) =
2. Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) -4 . (-8 + 12 – 7) =
b) (-1 +4 -9) . (-6) =
c) ( -35 + 20 – 15) : (-5) =
3. (–60 x –2) : (–10 x –2)
4. –7 – { -3 [ -5 (1 – 9) + 4] – 6} + 8
5. Resolvé aplicando la propiedad distributiva:
a) -4 . (-8 + 12 – 7) =
b) (-1 +4 -9) . (-6) =
c) ( -35 + 20 – 15) : (-5) =
Potenciación de números enteros
Sabemos resolver la potencia de un número natural, entonces:
3
Si 2 4  2.2.2.2  16 ; (2) 4   2 2 2 2  16 ;  3   3 3 3  27
Según si el exponente es par o impar podemos expresar las siguientes reglas:
 Las potencias de exponente par son siempre
 Las potencias de exponente impar de bases
positivas
negativas
 impar  
 impar  
  par  
  par  
Propiedades
1 . a 0 = 1 ; e j e m p l o : 20  1
21  2
2. a1 = a ; Ejemplo
3. Producto de potencias con la misma base :
Es
otra
potencia
am · a
exponentes.
4
con
n
la
misma
= am+n
;
base
Ejemplo:
y
cuyo
exponente
es
la
suma
de
los
2 3.2 5  28
División de potencias con la misma base :
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los
exponentes.
am

a
n
= am
— n
Ejemplo:
33  32  332  31  3
5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es
el producto de los exponentes
 
Ejemplo: 2
2 3
(am)n = am
· n
 26
6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo
exponente y cuya base es el producto de las bases
an · b n = (a · b) n ; Ejemplo: (−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216
7. Cociente de potencias con el mismo expon ente: an
(−6)3 : 33 = (−2)3 = −8

b
n
= (a

b)
n
8.
Po t e nci a s d e e x p o ne nt e e nte r o ne g a t i vo
Ejemplos:
1 1
1 1
32  2  ;
2 3  3 
9
8
3
2
3
2
1
 2 34  2 1 
4
2
2
Observe el video:
http://www.youtube.com/watch?v=AVgtIiyBEpc
y luego resuelva el taller no. 7
2. Expresá como productos y
resolvé las siguientes potencias:
a) (-3)2 =
b) (-3)3 =
c) (-3)4 =
d) (-3)5=
1. Calculá aplicando la regla de
la potenciación:
a) (-1)8=
b) (-3)5 =
c) 93 =
d) 112 =
3. Calculá aplicando la regla de
la potenciación:
a) a) (-1)8=
b) (-3)3 =
c) 93 =
d) 112 =
INTERACCIÓN
http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/primaria/matematicas/conmates/actividades/jcloze57.htm
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el
radicando
PROPIEDADES
1) a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.
EJEMPLOS:
En la multiplicación
En la división
b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
EJEMPLOS:
En la suma
2) a) Si
En la resta
el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno
positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo.
EJEMPLO:
b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando.
EJEMPLO:
3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices.
EJEMPLO:
Observe el video
http://www.youtube.com/watch?v=7vr4N7Kzlmw&feature=mfu_in_order&list=UL
y luego resuelva el taller no. 8
Taller número 8
1. Completa:
2. Calcula las raíces cuando sea posible
3. Estos cálculos están mal resueltos. Rodea los errores cometidos:
ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo
igual. La _expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la _expresión de
la derecha.
Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar
con las expresiones y encontrar el valor de las variables.
Un ejemplo podría ser: x = 4 + 8
Esta ecuación se puede resolver sumando 4 y 8 para encontrar que x = 12.
Resuelva el taller número 9
Plantea los siguientes problemas y resuelve las ecuaciones
1. En un rectángulo de 68 cm. de perímetro, la base es 5 cm mayor que la altura. ¿Cuál es la longitud de la altura?
2. La suma de un número entero y su siguiente es 53. Cuál es ese número?
3. La edad de la nieta es un tercio de la edad de la abuela y la diferencia de edades es 48. ¿Cuántos años tiene la
abuela?
4. A un número se le suma 3 y se obtiene la diferencia entre su doble y 1. ¿Cuál es ese número?
5. Si al triple de un número se le suma 4, se obtiene el mismo resultado que si a la mitad de 6 se le suma el doble
de ese número. ¿cuál es ese número?
6. La base de un rectángulo es el doble de un número entero y la altura es el número aumentado en tres unidades.
¿Cuál es el número si la base del rectángulo mide 8 cm?
7.El doble del anterior de un número “x” es igual al triple de su siguiente. ¿Cuál es ese número?

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