CMOS インバータの波形解析 β β β β β β β β

集積回路工学第１
CMOS インバータの波形解析
4．4．1 立下り時間の解析
Vi : 入力電圧
ID
Vo: 出力電圧
p-chX5 X4
X3
n-ch
CL: 負荷容量
X2 Vgsn=VDD
入力立上り
VDD: 電源電圧
１．X1→X2（カットオフ→飽和領域）
入力 Vi の変化により瞬間的に移動する。
Vdsn
X1
(n-ch OFF / p-ch ON)
Vdsp
X6 Vgsp=0
(n-ch ON / p-ch OFF)
この途中で貫通電流が一瞬流れる。
VDD
OFF
２．X2→X3→X4（n-ch MOSFET 飽和領域）
I dsn 
n
Vi
Idsn
VDD
Q
(VDD  Vtn 0 ) 2
2
QC  C L  Vo
放電
CL
ON
dQ C
dt
dV o
d
  (C L V o )   C L
dt
dt
I dsn  
I dsn
以上の関係式より、この回路方程式（連続の方程式）は、
CL
dV o
dV o  n
 I dsn  C L

(VDD  Vtn 0 ) 2  0
dt
dt
2
X2 の状態になった瞬間を、t=0, Vo = VDD とし、t = t’, Vo = Vo’ まで積分すると、
o'
C L [Vo ]VVDD

n
2
(VDD  Vtn 0 ) 2 t '  0
C L (Vo 'VDD ) 
Vo '  
n
2C L
n
2
(VDD  Vtn 0 ) 2 t '  0
(VDD  Vtn 0 ) 2 t 'VDD
従って、X4 の状態までは、時間 t’に対して直線的に出力電圧が変化する。出力電圧 Vo’ = 0.9VDD から
X4 に達するまでの tf1 は、
t' 
2C L (VDD  V o ' )
 n (VDD  Vtn 0 ) 2
t’ = t2 のとき、Vo’ = 0.9VDD
t’ = t4 のとき、Vo’ = VDD-Vtn0
とすると、
t f 1  t4  t2 
2C L (VDD  VDD  Vtn 0 )  2C L (VDD  0.9VDD ) 2C L (Vtn 0  0.1VDD )

 n (VDD  Vtn 10 ) 2
 n (VDD  Vtn 0 ) 2
(4.12)
集積回路工学第１
３．X4→X5→X6（n-ch MOSFET 線形領域）
1 2
I dsn   n {(VDD  Vtn 0 )  V o  Vo }
2
dV o
CL
 I dsn  0
dt
以上の関係式より、この回路方程式（連続の方程式）は、
CL
dV o
1 2
  n {(VDD  Vtn 0 )  V o  Vo }  0
dt
2
この方程式は、Bernoulli 型方程式であり、以下の変数変換により解が得られる。
n
1 dV o  n
1




0
(
)
VDD
V
0
tn
2
CL
V o 2C L
Vo dt
u
1
と変数変換すると、
Vo
dV o
1 du
 2
より、
dt
u dt

du  n


(VDD  Vtn 0 )  u  n  0
dt C L
2C L
du  n
1

(VDD  Vtn 0 )  {u 
}0
dt C L
2  (VDD  Vtn 0 )
さらに、
yu
１
と変数変換すると、
2  (VDD  Vtn 0 )
dy  n

(VDD  Vtn 0 )  y  0
dt C L
t  0 のときに、 V o  VDD  Vtn 0 （ X 4の点）、
u (t  0 ) 
u
1
1

（初期条件）
V o (t  0) VDD  Vtn 0

１
[exp{ n (VDD  Vtn 0 )  t}  1]
CL
2  (VDD  Vtn 0 )
Vo 
1

u
2  (VDD  Vtn 0 )
exp{
n
CL
(VDD  Vtn 0 )  t}  1
従って、X6 の状態まで移動する間は、時間 t に対してほぼ指数関数的に出力電圧が変化する。出力電
圧が X4 から Vo = 0.1VDD に達するまでの tf2 は、
t
2  (VDD  Vtn 0 )  V o
CL
ln
 n (VDD  Vtn 0 )
Vo
2
集積回路工学第１
t = t4 のとき、Vo = VDD-Vtn0
t = t6 のとき、Vo’ = 0.1VDD
とすると、
t f 2  t6  t4 

2  (VDD  Vtn 0 )  0.1VDD
2  (VDD  Vtn 0 )  (VDD  Vtn 0 )
CL
 ln
{ln
}
 n (VDD  Vtn 0 )
0.1VDD
VDD  Vtn 0
1.9  VDD  2  Vtn 0
CL
ln
 n (VDD  Vtn 0 )
0.1  VDD
(4.13)
0.9VDD → 0.1VDD に立下がる時間 tf は、
t f  t f1  t f 2 
V  0.1VDD 1 1.9  VDD  2  Vtn 0
2  CL
{ tn 0
}
 ln
2
0.1  VDD
 n (VDD  Vtn 0 ) VDD  Vtn 0
(4.14)
4．4．2 立ち上がり時間の解析
立上がり時間は、p-ch MOSFET を通して CL が充電されること
VDD
により行われるので、n-ch → p-ch の置換えを行えば、同様にし
て波形の解析式が得られる。閾値 Vtp0 < 0 であることに注意。
ON
Vi
Idsp
VDD
Q
t r1 
tr2 
2  C L ( Vtp 0  0.1VDD )
 p (VDD  Vtp 0 )
（p-ch MOSFET 飽和領域）
1.9  VDD  2  Vtp 0
CL
ln
0.1  VDD
 p (VDD  Vtp 0 )
t r  t r1  t r 2 
充電
CL
OFF
（p-ch MOSFET 線形領域）
 Vtp 0  0.1VDD 1 1.9  VDD  2  Vtp 0
2  CL
{
 ln
}
2
0.1  VDD
 p (VDD  Vtp 0 )
VDD  Vtp 0
3
(4.18)

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