試験問題解答

試験問題解答
幾何学 A (担当: 新國)
2016 年 7 月 28 日 (木)
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書籍 · ノート類の持ち込みは一切不可とする.
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以下の大問 1 , 2 , 3 , 4 の全てに解答せよ. 解答に当たっては, 黒
色以外の色の鉛筆もしくはペンを自由に使って構わない.
問題.
1 以下の設問に答えよ.
(1) コンパクト曲面 Σ30 (図 1 (1)) が平面的かどうか判定せよ.
(2) Möbius の帯 (図 1 (2)) が平面的であるかどうか判定せよ.
(2)
(1)
図 1: (1) 向き付け可能な連結コンパクト曲面 Σ30 , (2) Möbius の帯
2 図 2 のグラフ G1 の最小交差数 cr (G1 ) を求めよ.
1
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5
2
3
7
図 2: グラフ G1
8
3 図 3 のグラフ G2 の種数 g (G2 ) を求めよ.
1
2
9
6
7
8
3
5
4
図 3: グラフ G2
4 図 4 のグラフ G3 の 2 次元トーラス T2 = Σ1 へのセル埋め込み f : G3 → T2
の具体例を 1 つ挙げよ. 実際にセル埋め込みであることも説明せよ.
1
4
2
6
5
3
図 4: グラフ G3
以上
解答.
1 (1) 例えば図 5 に示したように, Σ30 は R2 に埋め込めるので, 平面的である. 図 5: コンパクト曲面 Σ30 は平面に埋め込める
2
(2) 図 6 に示したように, Möbius の帯は K3,3 を部分空間として含む. 従って, もし
Möbius の帯が平面的なら, K3,3 も平面的であるが, K3,3 は平面的でないので, こ
れは矛盾である. 従って Möbius の帯は平面的でない.
1
1
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1
4
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3
6
3
2
2
5
5
2
6
5
4
3
図 6: Möbius の帯は K3,3 を部分空間として含む
2 例えば図 7 に示したように, G1 の R2 への cr(f ) = 1 なるジェネリックなはめ
込み f : G1 → R2 が存在する. 即ち
cr (G1 ) ≤ 1
(i)
である. 一方, 図 8 に示したように, G1 は K3,3 の細分を部分グラフとして含むの
で, 平面的でない. 従って
cr (G1 ) ≥ 1
(ii)
である. (i), (ii) より, cr (G1 ) = 1, 即ち G1 の最小交差数は 1 である.
8
1
4
7
f
4
6
1
5
5
7
3
2
3
8
6
2
図 7: G1 の R2 への cr(f ) = 1 なるジェネリックなはめ込み f : G1 → R2
1
1
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2
3
6
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2
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3
1
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5
5
8
2
4
3
図 8: G1 は K3,3 の細分を部分グラフとして含む
3
3 例えば図 9 に示すように, G2 の T2 への埋め込み f : G2 → T2 が存在するので,
g (G2 ) ≤ 1
(iii)
である. 一方, 図 10 に示すように, G2 は K3,3 の細分を部分グラフとして含むの
で, 平面的でない. 従って
g (G2 ) ≥ 1
(iv)
である. (iii), (iv) より, g (G2 ) = 1, 即ち G2 の種数は 1 である.
1
1
2
2
6
9
9
6
8
5
f
7
7
8
3
5
3
4
4
図 9: G2 の 2 次元トーラスへの埋め込み f : G2 → T2
1
2
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2
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9
6
8
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7
8
3
5
3
4
4
図 10: G2 は K3,3 の細分を部分グラフとして含む
4 例えば図 11 に示すような, G3 の 2 次元トーラスへの埋め込み f : G3 → T2 を
考える. すると, 図 12 に示したように, この埋め込みは 3 つの面を持ち, それら (の
閉包) は全て B2 に同相である. 従ってこの f はセル埋め込みである.
4
1
1
4
f
4
6
5
2
3
6
5
2
3
図 11: G3 の 2 次元トーラス T2 への埋め込み f : G3 → T2
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2
4
3
1
2
3
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1
4
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2
3
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5
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2
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4
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図 12: f はセル埋め込み
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