参考資料5

微分積分学および演習Ⅰ 参考資料 5
2016 年度前期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■ 有理関数の積分
∫
G(x)
G(x)
有理関数
(但し f (x), G(x) は x の多項式) の積分
dx は以下の手順に則って実行
f (x)
f (x)
しよう。
Step 1. [分子の次数が分母の次数よりも大きい場合]
· · · 分子を分母で割り算する
G(x) = h(x)f (x) + g(x),
deg g(x) < deg f (x)
とすると (つまり g(x) は G(x) を f (x) で割った余り)
∫
∫
で、
G(x)
dx =
f (x)
∫
h(x)f (x) + g(x)
dx =
f (x)
∫
∫
h(x) dx +
g(x)
dx
f (x)
h(x) dx の部分は多項式の積分だから簡単に積分出来る。
∫
g(x)
⇝ (分子の次数) < (分母の次数) のときの積分
dx が出来れば良い。
f (x)
Step 2. 部分分数分解
分母を
s
∏
f (x) =
(ai x − bi )mj
i=1
t
∏
(cj x2 + dj x + ej )nj
“1 次式” × “判別式が負の 2 次式”
j=1
の形に因数分解すると
{
}
s
(1)
(2)
(m )
g(x) ∑
Ai
Ai
Ai i
=
+
+ ...... +
f (x)
ai x − bi
(ai x − bi )2
(ai x − bi )mi
i=1
{
}
(n )
(n )
(1)
(1)
(2)
(2)
t
∑
Bj x + Cj
Bj x + Cj
Bj j x + Cj j
+
+
+ ...... +
cj x2 + dj x + ej
(cj x2 + dj x + ej )2
(cj x2 + dj x + ej )nj
j=1
と部分分数分解できる。
A
Bx + C
⇝ それぞれの
,
の形の式が積分出来れば良い。
k
2
(ax − b) (cx + dx + e)ℓ
∫
A
Step 3. 各項の積分Ⅰ:
dx の計算
(ax − b)k
これは簡単で
∫
となる。
∫
A
dx
=
A
(ax − b)−k dx
(ax − b)k

A
−k+1


+C
 a(−k + 1) · (ax − b)
=


 A log|ax − b| + C
a
(k ̸= 1 の場合),
(k = 1 の場合)
∫
Bx + C
dx の計算
+ dx + e)ℓ
4-1) bx + c = D(2cx + d) + E とすると*1
Step 4. 各項の積分Ⅱ:
∫
(cx2
∫
D(cx2 + dx + e)′ + E
dx
(cx2 + dx + e)ℓ
∫
∫
(cx2 + dx + e)′
1
=D
dx + E
dx
2
ℓ
2
(cx + dx + e)
(cx + dx + e)ℓ
Bx + C
dx =
2
(cx + dx + e)ℓ
であり、最初の項は
∫



′
2
(cx + dx + e)
dx =

(cx2 + dx + e)ℓ

1
1
+C
2
−ℓ + 1 (cx + dx + e)ℓ−1
(ℓ ̸= 1 のとき),
log(cx2 + dx + e) + C
(ℓ = 1 のとき)
と計算出来る。
∫
1
dx が計算出来れば良い。
(cx2 + dx + e)ℓ
β
4-2) cx2 + dx + e = c(x + α)2 + β と平方完成すると、(判別式 < 0 より) > 0 で
c
⇝
あり、
∫
1
dx =
2
(cx + dx + e)ℓ
∫
1
1
dx = ℓ
2
ℓ
{c(x + α) + β}
c
∫
1
dx
{(x + α)2 + βc }ℓ
となる。
… (Arctan(x))′ =
(ア) ℓ = 1 のとき (この場合が殆ど)
∫
(イ)
∗
∫
1
{(x + α)2 +
∫
Iℓ =
=
=
=
β ℓ
}
c
β ℓ
}
c
x+α
{(x + α)2 +
β ℓ
}
c
x+α
{(x + α)2 +
β ℓ
}
c
x+α
{(x +
より Iℓ+1
α)2
+
c
=
2ℓβ
β ℓ
}
c
(
∫
{√
1
を思い出そう!
+1
1
dx
}2
+ α) + 1
{√
}
√
c
c
=
Arctan
(x + α) + C
β
β
c
β (x
· · · 部分積分で漸化式を立てる
dx とおくと
(x + α)′
{(x + α)2 +
c
dx =
β
β
c
ℓ > 1 の場合 (発展的)
Iℓ =
*1
1
(x + α)2 +
x2
dx =
{(x + α)2 +
∫
+ℓ
β ℓ
}
c
2(x + α)2
∫
−
+ 2ℓIℓ −
{(x + α)2 +
β ℓ
}
c
dx
dx
2ℓβ
Iℓ+1
c
)
x+α
{(x + α)2 +
(x + α) ·
)′
1
dx
β ℓ+1
}
c
β
2
(x + α) + c − βc
{(x + α)2 + βc }ℓ+1
{(x + α)2 +
+ 2ℓ
(
∫
x+α
β ℓ
}
c
+ (2ℓ − 1)Iℓ
を得る。これを用いて Iℓ を計算する。
つまり、分子の Bx + C を分母の 2 次式の微分 (cx2 + dx + e)′ = 2cx + d で割った商を D, 余りを E と書いている。

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