Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (1) O. von der Lühe und U. Landgraf Die Newton‘schen Axiome der Mechanik • Die Dynamik befasst sich mit den Ursachen der Änderung eines Bewegungszustandes • 1. Galileisches Trägheitsprinzip – „Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig.“ • Ein Körper ist „sich selbst überlassen“, wenn keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken • Ein sich selbst überlassener Körper ändert daher seinen Geschwindigkeitsvektor nicht • Der ruhende Körper mit Geschwindigkeit Null ist ein Spezialfall Dynamik des Masenpunkts 1 2 1 Die Newton‘schen Axiome der Mechanik • 2. Newton‘sches Aktionsprinzip – „Ursache einerr Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers v ist eine Kraft F , die der Beschleunigung a proportional ist. Die Proportionalitätskonstante heißt die träge Masse des Körpers.“ r r F = mt ⋅ a • Die Einheit der Kraft ist [Masse mal Beschleunigung] oder [kg m s-2]. Für diese Einheit wird die Bezeichnung Newton [N] eingeführt ⎡ kg ⋅ m ⎤ 1 [N ] = 1 ⎢ 2 ⎥ ⎣ s ⎦ Dynamik des Masenpunkts 1 3 Die Newton‘schen Axiome der Mechanik • 3. Newton‘sches Reaktionsprinzip (actio gleich reactio) – „Kräfte werden zwischen Körpern ausgeübt, wobei die Kräfte gleich groß und entgegen gesetzt gerichtet sind.“ r F1 r F2 r r F2 = − F1 Dynamik des Masenpunkts 1 4 2 Inertialsysteme und Galilei-Transformation r • Die Bestimmung der Ortsfunktion X (t ) einer Bewegung hängt vom gewählten Koordinatensystem ab • Dieselbe Bewegung kann von verschiedenen Koordinatensystemen aus beobachtet werden, mit unterschiedlichen Ergebnissen bezüglich der Ortsfunktion • Sind Koordinatensysteme mit Körpern verbunden, die sich geradlinig gleichförmig bewegen, so unterscheiden sie r sich – durch den Abstandsvektor R0 der Ursprünge für t = 0 r – durch eine konstante Geschwindigkeit V0 z‘ r R′ r V0 ⋅ t z r R0 y‘ r R x‘ y x • Derartige Koordinatensysteme heißen Inertialsysteme Dynamik des Masenpunkts 1 5 Inertialsysteme und Galilei-Transformation • Die Transformation der Koordinaten und Geschwindigkeiten zwischen zwei sich relativ zueinander gleichförmig bewegenden Koordinatensystemen heißt Galileitransformation r r r r R = R′ + R0 + V0 ⋅ t r r r V = V ′ + V0 t = t′ • Die Transformation zwischen Inertialsystemen verändert Kräfte nicht • Die physikalischen Gesetze (welche sich auf Kräfte beziehen) haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form (Invarianz gegenüber der Galileitransformation) Dynamik des Masenpunkts 1 6 3 „Schwere“ und „träge“ Masse • Die Gravitationskraft der Erde bewirkt eine Kraft FG auf einen Körper, die zu seiner schweren Masse ms proportional ist z ms FG FG = − ms ⋅ g • Schwere Masse ms und träge Masse mt des Newton-schen Aktionsprinzips sind grundsätzlich verschiedene Dinge • Experimente zeigen, dass ms und mt für alle Körper proportional (gleich) sind, unabhängig von seiner Zusammensetzung mt ⋅ a = FG mt ⋅ a = − ms ⋅ g ms = mt = m • a = −g (Genauigkeit 10-11) Dynamik des Masenpunkts 1 7 Mathematisches Pendel • Das mathematische Pendel ist eine idealisierte punktförmige Masse, welche an einer masselosen Stange befestigt ist l α – Masse m – Länge l – Auslenkwinkel α • Es bewegt sich unter dem Einfluss einer konstanten, nach unten gerichteten Gravitationskraft m α -mg sin α -mg – F = -mg -mg cos α Dynamik des Masenpunkts 1 8 4 Mathematisches Pendel • Die die Masse m beschleunigende Kraft ist F = − mg sin α • Die von dem Körper zurückgelegte Strecke ist x = l ⋅ α • Der Winkel α wird im Bogenmaß (Einheit [rad]) gemessen • Für kleine Winkel ist sin α ≈ α l α x m -mg sin α • Mit dem 2. Newton‘schen Axiom gilt F = m ⋅ a = m ⋅ &x& − m ⋅ g ⋅ sin α = m ⋅ &x& = m ⋅ l ⋅ α&& Dynamik des Masenpunkts 1 g sin α = 0 l g α&& + ⋅ α = 0 l α&& + 9 Mathematisches Pendel Dynamik des Masenpunkts 1 10 5
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