Serie 10 - Universität Münster

Westfälische Wilhelms-Universität Münster, Numerische und Angewandte Mathematik
3. Juli 2016
Übungsaufgaben Dynamische Systeme
Vorlesung von Prof. Dr. Michael Herrmann im Sommersemester 2016
Serie 10: Dynamik planarer Vektorfelder (4 Aufgaben, 24 Punkte)
Abgabe am 11. Juli 2016
Aufgabe 1 [8 Pkt.]
(Mathematisches Pendel und verwandte Gleichungen)
Wir betrachten die skalare Gleichung zweiter Ordnung ÿ = −V 0 (y), wobei
1. V (y) = − cos y,
2. V (y) = y 4 − y 2 ,
3. V (y) = −y 4 + y 2 ,
4. V (y) = −y 3 + y.
Diskutieren Sie für jede Wahl von V , unter welchen Bedingungen an ξ ∈ R2 der Orbit Γξ
1. stationär,
2. periodisch, oder
3. unbeschränkt
ist. Gibt es darüber hinaus weitere Typen von Orbits?
Hinweis:
Reformulieren Sie die Gleichung als ein System erster Ordnung und benutzen
Sie die in der Vorlesung angegebene Erhaltungsgröße.
Aufgabe 2 [4 Pkt.]
(Mathematisches Pendel mit Dämpfung)
Wir betrachten die Differentialgleichung
ẋ1
x2
=
,
ẋ2
− sin (x1 ) − cx2
wobei der physikalische Parameter c > 0 die Dämpfung eines Pendels beschreibt. Zeichnen
Sie das Phasenporträt der Dynamik sowohl für kleine als auch für große Werte von c. Was
passiert bei c = 2 ?
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Aufgabe* [8 Pkt.]
(Beispiel für einen explizit berechenbaren Fluss)
Auf der Menge
Ω := (x1 , x2 ) : x2 > 0 ⊂ R2
betrachten wir die Differentialgleichung
2
ẋ1
+x2 − x21
=
.
ẋ2
−2x1 x2
Zeigen Sie, dass für jedes ξ ∈ Ω die maximale Lösung xξ für alle Zeiten existiert und Werte
in Ω annimmt, und leiten Sie explizite Formeln für den Fluss der Differentialgleichung ab.
Zeigen Sie außerdem, dass jeder Orbit Γξ in einem Kreis enthalten ist und geben Sie den
Radius und den Mittelpunkt dieses Kreises als Funktion von ξ an.
Hinweis:
Betrachten Sie die Dynamik von z = x1 + ix2 ∈ C.
Aufgabe 3 [8 Pkt.]
(Beispiel mit nichtrivialer periodischer Lösung)
Skizzieren Sie das Phasenporträt der Differentialgleichung
x1
ẋ1
+x2
2
2
=
− x1 + x2 − 2x1 − 3
ẋ2
−x1
x2
und beweisen Sie, dass die offene Kreisscheibe
B4 := {x ∈ R2 : x21 + x22 < 16}
vorwärtsinvariant unter der Dynamik ist. Zeigen Sie außerdem mit Hilfe des Theorems
von Poincaré-Bendixon, dass B4 neben dem stationären Punkt (0, 0)T auch einen echtperiodischen Orbit enthält.
Hinweis:
Betrachten Sie zunächst die Dynamik in den Polarkoordinaten (r, θ) mit
x1 = r cos (θ) ,
x2 = r sin (θ)
und suchen Sie geeignete Ober- und Unterlösungen für den Radius.
Aufgabe 4 [4 Pkt.]
(Beispiel für eine Ljapunow-Funktion)
Skizzieren Sie das Phasenportrait für die Differentialgleichung
3
ẋ1
−x1 + x2
=
.
ẋ2
−x31 − x32
Geben Sie außerdem eine Ljapunow-Funktion für den stationären Punkt ξ∗ = (0, 0)T an und
diskutieren Sie, ob ξ∗ asymptotisch stabil ist.
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