Bassモデル
大井 憲人
Bassモデル
• F.M.Bassによって提案された新製品、特に耐
久消費財の拡散過程を模擬するモデルを
Bassモデルという。
• Bassは「時点ｔまでの未購入者が耐久消費財
を期間（t,t+Δt）に購入する確率P(T)は、他人
に惑わされない購入意欲（innovation効果）と
既購入者が増えてくると乗り遅れまいとする
気持ち（imitation効果）との和で表現される」
と考えた。
仮定
• マーケットは自らの意思で購入決定する革新者
（innovators）と既購入者から口コミやデモンストレー
ション効果に購入意思決定が左右される模倣者
（imitators）の２種類から成る（※）
• 革新者と模倣者の購入確率は計画期間中一定
（p,q）とする
• T時点の模倣者の購入確率はt=0からt時点までの
既購入確率に比例する
• 初回購入の潜在市場の大きさ（m）は計画期間中一
定とする
• 初回一回だけの購入モデルで、反復購入を無視す
る
仮定（※）の背景
• Rogers(1962)の「消費者の行動科学の面から社
会システムの中でのイノベーションの普及理論」
に基づく
→イノベーションの採用者を５つのカテゴリーに分
けた。
• 革新者（2.5％）
• 初期採用者
• 前期追随者
• 後期追随者
• 遅滞者
仮定（※）の背景
• BassモデルはFourt and Woodlock(1960)と
Mansfield(1961)によって提唱された２つのモデ
ルを複合させたものである。
 Fourt and Woodlockのモデル
 新製品の普及仮定は普及促進者による情報に
よってのみ影響を受けると仮定
 Mansfieldのモデル
 既購入者による情報のみに影響を受けると仮定
仮定（※）の背景
• Bassは新製品の潜在採用者は、イノベーショ
ンの５つのカテゴリーのうち最も早い時期の
採用者である革新者（innovator）と、残りの４
カテゴリーを１つの模倣者（imitator）という２
種類から構成されると考えた。
仮定（※）の背景
• 普及購買に与える２つの影響
 innovation効果
 外的影響(マスコミ、広告など)
 革新者は購買行動において、他にいる既購入者の影
響は受けない
 imitation効果
 内的影響(すでに購買した消費者によってもたらされる
口コミなど)
 模倣者は既購入者からの影響を受け、彼らの行動を
学ぶのである
式の説明
• T時点での初回購入確率P(T)
Y (T )
P (T )  p  q
m
•
•
•
•
pはinnovatorの一定確率（革新係数）
qはimitatorの一定確率（模倣係数）
mは潜在市場の大きさ
Y(t)はT=0からT時点までの累積売上台数
式の説明
• T時点までにまだ購入していない人がT時点で
購入する確率密度関数
f (T )
Y (T )
 P(T )  p  q
 p  qF (T )
1  F (T )
m
• f(T)はT時点での購入確率密度関数
• F(T)はT=０からT時点までの確率分布関数
T
F (T )   f (t )dt
0
F ( 0)  0
式の説明
• S(T)をT時点での購入者数とすると
T
T
0
0
Y (T )   S (t )dt  m f (t )  mF (T )
• 以上の式よりS(T)は
T
T



S (T )  mf (T )  P(T )m  Y (T )  p  q  S (t )dt / m m   S (t )dt 

 

0
0
解釈
• S(T)は以下の式に書き直せる
S (T )  pm  (q  p)Y (T )  q / mY (T )
2
• また革新者と模倣者の項に分ける
Y (T )
S (T )  p (m  Y (T ))  q
(m  Y (T ))
m
イノベーション普及プロセスが進むにつれて、革新者は
相対的に減少し、模倣者は既購入者の影響を受けつつ
増大してゆく。
革新者の重要性は初期時点が大きく、時間ごとに単調
に減少し、模倣者の影響は既購入者ごとに大きくなる。
F(T)（累積販売確率）の導出
f (T )
  p  qF (T )1  F (T )  p  (q  p) F (T )  qF (T )
2
• でありこれは
dF
 p  (q  p ) F  qF 2
dt
• であるので、この微分方程式を解けばFが導
出できる。
F（T）の導出
• 方程式を解くと
 (T C )( p  q )
q  pe
F
q(1  e ( P C )( p  q ) )
• 初期条件よりF(0)＝0
1
q
C  (
) Ln( )
pq
p
and
1  e  ( p  q )T
F (T ) 
q  ( p  q )T
e
1
p
f(t)とS(T)の導出
• f(T)について
f (T ) 
( p  q ) 2 e  ( p  q )T
 q  ( p  q )T

e

1


p

2
• S(T)=mf(T)より


2
 ( p  q )T
(
p

q
)
e
S (T )  m 
2

  q e  ( p  q )T  1

p










ピーク時T*
• 販売率が最大となる時点T*は、Sを微分して
求めることが出来る
1
p
1
q
T*  
Ln( ) 
Ln( )
pq
q
pq
p
• これはq>pのとき成りたつ
ピーク時の当期購入者数S(T*)
・累積購入者数Y(T*)
• ピーク時の購入者数はS(T*)で与えられる
( p  q) 2
S (T *)  m
4q
• またY(T*)は
T*
Y (T *)  
0
q p
S (t )dt  m
2q
S(T)について（p=0.001,q=0.1,m=0.1)
S(t) q>p
0.003
0.0025
0.002
T*=45.60
S(T*)=0.00255
S(T) 0.0015
S(t) q>p
0.001
0.0005
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
81
84
87
90
93
96
99
0
T
Bassモデルでは初期の購入者をpmと仮定しているので、当期購入
者曲線は初めpmから始まり、徐々に増加してT*で最大となる。
その後２T*までは原点からT*まで増加する場合の曲線とは対称形
で減少する。
Y(T*)について
Y(t) q>p
0.12
0.1
0.08
Y(T) 0.06
Y(t) q>p
T*=45.60
Y(T*)=0.0495
0.04
0.02
T
累積購入者は潜在市場規模ｍの上限に漸近す
る関数である。関数の変曲点T*において、当期
購入者はピークをむかえる。
99
96
93
90
87
84
81
78
75
72
69
66
63
60
57
54
51
48
45
42
39
36
33
30
27
24
21
18
15
9
12
6
3
0
0
T
96
99
87
90
93
78
81
84
69
72
75
60
63
66
51
54
57
39
42
45
48
30
33
36
21
24
27
12
15
18
3
6
9
0
図による説明
S(t) p>q
0.012
0.01
0.008
S(T) 0.006
S(t) p>q
0.004
0.002
0
パラメータ(p,q,m)の推定
• パラメータp,q,mの値を,a,b,cを次の用いた離
散時系列データから推定する
ST  a  bYT 1  cY .T  2,3...
2
T 1
STはT時点での購買者数
YT 1はT  1時点までの累積購買者 数; (YT 1  t 1 St )
T 1
また a  pm, b  q  p, c  q / mの推定とする
( S (T )  pm  (q  p )Y (T )  q / mY (T )より )
2
パラメータの推定
• Bassはa,b,cの値を最小二乗法(OLS)により推
定し、以下の式からp,q,mを推定した
p  a/m
q   mc
q  p   mc  a / m  b    (*)
よって (*)は
cm 2  bm  a  0
m
b
b 2  4ac
2c
補足
ここで S (YT 1 )を YT 1と区別して書くと
dST
 b  2cYT 1
dYT 1
となり、  0とするなら
YT*1  b / 2c  m(q  p) / 2q  Y (T * )
and
ST (YT*1 )  a  b 2 / 2c  b 4 / 4c  m( p  q) 2 / 4q  S (T * )
となり、時間の関数と
しての Sの最大値と、
累積販売数の関数の Sの最大値は一致する。
問題点
•
•
•
•
データがなければ使えない
共線性による推定地の不安定
直後に標準誤差がない
期間バイアスがある
バイアスを考慮した推定
推定には t 0 Stを  S (t )dtの代わりに用いた。
T 1
T
0
• しかし特定のバイアスが生じてしまう。
• このバイアスは複数の観測値によって緩和さ
れるが、わずかしかないとき重要とされる。
S t  S (T )
とするなら
S t  a  bk (T )YT 1  ck 2 (T )YT21
となる。
バイアスについて
• バイアスは以下のように表せる
k (T )  Y (T ) / YT 1
• このときの確率分布
1
f ( x )  F ( x  1)  F ( x ) 
k
and
F (0)  0, t  0
x 1
1
f (t )  F ( x )
k
つまり , t  0 F ( x ) / f (t )  k
x 1
バイアスについて
• 確率密度関数f(t)は、pとTが小さい場合に指
数関数的に増加するので以下のようになる。

1
f apx (T ) 
Fapx (T  1)  Fapx (T )
k
and
1
pq
 ( pq)
k
e
1

バイアスについて
• Tの値が小さい場合
ST  a  b 'YT 1  c 'YT21
b '  kb, c '  k 2 c
then
m  km' , p  1 / kp' , q  1 / kq'
• 1/kの値はp+qの値によって異なる。
p+q
1/k
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.85
0.81
0.77
0.73
0.69
0.65
0.61
実際の計算
available:
Sales 0.7 1.35 2.50
Year 1963 1964 1965
Solving the following system of equation:
S 0  0.7  a
S1  1.35  a  0.7b '  0.49c '
S 2  2.50  a  2.05b '  4.20c ' ,
a '  0.7, b '  0.96, c '  0.0374,
m '  26.2, q '  0.96, p '  0.0267,
q  0.67, p  0.018, m  37.4.
次回の予定
• データがある場合の他の推定法を学ぶ（最尤
法、非線形推定法）
• データのない場合の推定法を学ぶ（類似性を
議論する、アダプティブ推定、ミックス推定）
• Bassモデルから離れてほかの論文を読む
文献
• Frank. M. Bass, (1969) / "A New Product Growth
Model for Consumer Durables," Management
Science, Vol .5,No.5,pp.215-227
• Louis A. Fourt and Joseph W. Woodlock(1960) /
“Early Prediction of Market Success for New
Grocery Products”, The Journal of Marketing,
Vol.25, No.2 ,pp.31-38
• Edwin Mansfield(1961) / “Technical Change Rate
Imitation” ,Econometrica,Vol.29,No.4,pp.741-766
文献
• Joe A. Dodson and Jr. and Eitan Muller(1978) /
“MODELS OF NEW PRODUCT DIFFUSION THROUGH
ADVERTISING AND WORD-OF-MOUTH”, Management
Science,Vol.24.No.15,pp.1568-1578
• Mahajan,Muller,Bass(1990) /”New Product Diffusion
Models in Marketing A Review and Directions for
Research”,Jurnal of Marketing ,Vol.54,No.1,pp1-26
• 曹徳弼(2000) / “需要予測の誤差を用いた安全在庫
の計算方法”, 日本経営工学会論文
誌,Vol.51,No.4,pp.372-379
文献
• 水山元、鎌田瑛介(2008) / “予測市場システムに基づ
く衆知集約型需要予測法の研究”, 日本経営工学会論
文誌,Vol.59,No.4,pp.330-341
• 千住智信,比嘉修三,上里勝美(1999) /“類似性に基づ
くファジィニューラルネットワークによる翌日最大電力
需要予測”,日本ファジィ学会誌,Vol.11,No.1,pp.169177
• 手塚大,樋地正浩,棟朝雅晴,赤間清(2004) /”多目的実
数値遺伝的アルゴリズムによる不確実性下の供給計
画の最適化(情報システムの社会や企業への適用”,
情報処理学会論文誌,Vol.45,No.10,pp.2287-2296
文献
• 松井正之, 高橋義久,王崢(2006) / “需給マ
ネージャーの支援プランナー構築と理論”,日
本経営工学科論文誌,Vol.57,No.2,pp.120-131

9月議会 in 2011

6月議会 in 2012

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