2項ロジットの確率的部分

ロジットモデルの効用
効用の確率的部分
第一種極値分布
分布関数
F    exp  exp   
密度関数
f    exp    exp  exp   
2
第一種極値分布の密度関数
0.4
0.4
0.3
f(ε)
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
3
第一種極値分布の分布関数
1.0
0.9
0.8
F(ε)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
4
分布関数と密度関数の関係
F    exp  exp   
積
分
微
分
f    exp    exp  exp   
5
ロジットモデル
• ロジットモデルの想定している状況
– 選択肢の数は決まっている
– 消費者は必ず選択肢から１つだけ、そして必ず１
つ選ぶ
• このときの選択肢 j を選ぶ選択確率を従属変
数とし、マーケティング変数などを独立変数と
する
• 選択肢が２つの場合２項ロジットとよび３つ以
上の場合多項ロジットとよぶ
6
２項ロジットモデルの定義式
• 選択肢１を選ぶ確率をp1とする。
• 選択肢１の効用をU1 とし、選択肢２の効用を
U2 とする。
• ２項ロジットモデルではp1を以下の式で定義
する。
exp U1 
p1 
exp U1   exp U 2 
7
ロジットモデルの効用
ロジットモデルでは効用を「確定的な部分」と
「確率的な部分」から構成されると考えている。
確定的な部分を Uj
確率的な部分を εj
効用全体を
Vj
であらわす。
Vj  U j   j
8
ノーベル賞の理由
効用の確率的部分
9
効用の「確率的な部分」
○ 観測されない属性
○ 測定誤差
○ 関数の同定ミス
などによって誤差は発生
確率的な部分は完全に確率的に決まるとし
その値は第一種極値分布に従うと仮定する。
10
選択肢が選ばれるわけ
選択肢１と選択肢２から選択肢１が選ばれたのは
選択肢１の効用が選択肢２の効用を上回ったから
２つの選択肢から選択肢１を選ぶ確率は、
選択肢１の効用が選択肢２の効用を上回る確率
p1  PrV1  V2 
11
選択確率はロジットモデル
p1  PrV1  V2 
Vj  U j   j
なので
 PrU1   1  U 2   2 
 Pr 2   1  U1  U 2 
12
確率的部分は第1種極値分布
 2 1 U1 U 2

  
exp   2  exp  exp   2 d 2  exp  1  exp  exp  1 d1
  



  exp  1  exp  exp  1  exp  exp  1  U1  U 2 d1


  exp  1 exp 1  exp  U1  U 2  exp  1 d1

13
置換積分

  exp  1 exp 1  exp  U1  U 2  exp  1 d1

ここで
   exp  1 
d
d1
 exp  1 
d  exp  1 d1
とおくと
すなわち
なので
  exp 1  exp  U1 exp U 2  d
0

14
結論
1

1  exp  U1  exp U 2 
exp U1 

exp U1   exp U 2 
15
効用の確率的部分の仮定がもたらすもの
exp U1 
p1  Pr V1  V2  
exp U1   exp U 2 
確率的部分に第一種極値分布を仮定すると
２つから１つを選ぶ確率はロジットモデルになる
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