相関係数の範囲

相関係数の範囲
判別式を使った証明
判別式
準備
問題
以下の式を x について解け
ax  2bx  c  0
2
解の公式
 b  b  ac
x
a
2
判別式
D  b  ac
2
D>0 実数解が2つ存在
D=0 重解
D<0 解なし（虚数解）
判別式の符号の幾何学的意味
25
20
15
10
5
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-5
-10
1
2
3
4
定義式の確認
分散と共分散と相関係数
分散と標準偏差と共分散の定義式
n
Vx 
2


x

x
 i
i 1
n
n
x 
2


x

x
 i
i 1
n
n
 xy 
 x  x  y
i 1
i
n
i
 y
分散の定義式

2
  xi  x  
i 1


Vx 
n
n
標準偏差の定義式

2
  xi  x  
i 1


x 
n
n
共分散の定義式


  xi  x  yi  y 
i 1



n
n
 xy
問題
相関係数の定義式をxi yi nを用いて表しなさい。
ただし相関係数の定義式は以下のとおりとする
 xy
 xy 
 x y
相関係数の定義式


  xi  x  yi  y 
i 1


 xy 
n
n

2 
2
  xi  x     yi  y  
 i 1
 i 1

n
変数 t の式 Q

2
Q    xi  x   t  yi  y  
 i 1

n
問題
右辺を展開し整理しなさい。
展開式

2
Q  t    yi  y  
 i 1

n
2


 2t   xi  x  yi  y 
 i 1

n

2
   xi  x  
 i 1

n
判別式と符号
2
n

  n


2
2
D    xi  x  yi  y     xi  x     yi  y  
 i 1
  i 1
 i 1

n
Q は二乗和なので常に非負
従って判別式は非正となる
2
n

  n


2
2
0    xi  x  yi  y     xi  x     yi  y  
 i 1
  i 1
 i 1

n
右辺第2項を左辺へ移項
2
n
n


2
2
0    xi  x  yi  y    xi  x    yi  y 
i 1
i 1
 i 1

n
2


xi  x    yi  y     xi  x  yi  y  
i 1
i 1
 i 1

n
2
n
2
n
両辺の平方根をとり整理



2 
2
   xi  x     yi  y       xi  x  yi  y   i 1
 i 1
  i 1

n
n
1
n
 n

  xi  x  yi  y 
 i 1

n
 n


2
2
  xi  x     yi  y  
 i 1
 i 1

相関係数は±1の範囲に収まる


  xi  x  yi  y 
i 1


1
 1
n
n

2 
2
  xi  x     yi  y  
 i 1
 i 1

n

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