相関係数の範囲

相関係数の範囲
判別式を使った証明
判別式
準備
問題
以下の式を x について解け
ただし a
≠ 0 とする
ax  2bx  c  0
2
解の公式
 b  b  ac
x
a
2
判別式
D  b  ac
2
D>0 実数解が2つ存在
D=0 重解
D<0 解なし（虚数解）
判別式の符号の幾何学的意味
25
20
15
10
5
0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-5
-10
1
2
3
4
定義式の確認
分散と共分散と相関係数
分散の定義式
n
Vx 
 x  x 
i 1
2
i
n
標準偏差の定義式
n
x 
 x  x 
i 1
2
i
n
共分散の定義式
n
Vxy 



x

x
y

y
 i
i
i 1
n
問題
相関係数の定義式をxi yi nを用いて表しなさい。
ただし相関係数の定義式は以下のとおりとする
 xy 
Vxy
 x y
相関係数の定義式
n
 xy 
 x  x  y
i
i 1
n
i
 y
n
 x  x    y
i 1
2
i
i 1
 y
2
i
変数 t の式 Q
n
Q    xi  x   t  yi  y 
i 1
問題
右辺を展開し整理しなさい。
2
展開式
Qt
n
2
 y
i 1
 y
2
i
n
 2t   xi  x  yi  y 
i 1
n
   xi  x 
i 1
2
判別式と符号
2
n
n


2
2
D     xi  x  yi  y     xi  x    yi  y 
i 1
 i 1
 i 1
n
Q は二乗和なので常に非負
従って判別式は非正となる
2
n
n


2
2
0     xi  x  yi  y     xi  x    yi  y 
i 1
i 1
 i 1

n
右辺第2項を左辺へ移項
2
n
n


2
2
0     xi  x  yi  y     xi  x    yi  y 
i 1
i 1
 i 1

n
2


xi  x    yi  y     xi  x  yi  y  
i 1
i 1
 i 1

n
2
n
2
n
両辺の平方根をとり整理
n
n
 x  x    y
i 1
2
i
i 1
 y 
2
i
n
 x  x  y
i 1
n
1
 x  x  y
i
i 1
n
i
i 1
n
i 1
i
 y
 x  x    y
2
i
i
 y
2
i
 y　相関係数は±1の範囲に収まる
n
1
 x  x  y
i
i 1
n
i
 y
n
 x  x    y
i 1
2
i
i 1
 y
2
i
 1

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