条件付き確率確率統計B 白井英俊確率の問題(1) あるクラスでは、男性

条件付き確率
確率統計B
白井英俊
確率の問題(1)
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、
36%の人が車をもっていることが分かっている。
このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「男性で、か
つ車を持っている」確率は？
考え方：まず『事象』を定める:
事象X : 選ばれた人が男性
事象Y: 選ばれた人が車を持っている
すると、求めたいのは P(X ∧ Y)
同時確率
これでいい？
問題文から、P(X)=0.90, P(Y)=0.36
従って、 P(X∩Y) = P(X) * P(Y) = 0.324≒ 0.32
確率の問題(2)
問題(1)と同じ人数の割合
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、
男性の30%と女性の90%が車をもっていることが分かっている。
(全体としては、0.9*0.3 + 0.1*0.9 = 0.36, つまり36%)
このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「男性で、か
つ車を持っている」確率は？
考え方：まず『事象』を定める:
事象X : 選ばれた人が男性
事象Y: 選ばれた人が車を持っている
すると、求めたいのは P(X ∩ Y)
確率の問題の考察
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、男性の30%と女性の
90%が車をもっていることが分かっている。
(全体としては、0.9*0.3 + 0.1*0.9 = 0.36, つまり36%)
このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「男性で、かつ車を持っている」確
率は？
考え方：まず『事象』を定める:
事象X : 選ばれた人が男性
事象Y: 選ばれた人が車を持っている
すると、求めたいのは P(X ∩ Y)
一つの考え方:
P(X) = 0.9
P(Y) = 0.36
であるから、P(X∩Y) =P(X) * P(Y) = 0.324 ≒ 0.32
値が違う！
どちらがもっともらしいか？
別な考え方:
男性である確率: P(X) =0.9
男性のうち30％が車をもっている、つまり車を持っている男の確率: 0.3
ゆえに、 P(X∩Y) = P(X)*0.3 = 0.27
図によって考え方を説明
男
車
の
所
有女
者
全体を「１」とし、P(A)やP(B)は全体(つまり1)に対して事
象AやBが占める割合と考える。
男性が90%で、男性の30%と女性の90%が車をもっている、
という状態を図示すると
これから、「男性」かつ「車を持っている人」の確率は
(面積) …
答: P(X∩Y) = P(X)*0.3 = 0.27
条件付き確率
先の問題の解 P(X∧Y) = P(X)*0.3 = 0.27
P(X∧Y)=P(X)*P(Y)が成り立つ
から分かったこと：
のは、事象XとYが「独立」の場合
(1) P(X∩Y) とP(X)*P(Y)は必ずしも等しくない
(2) 解を求めるには、「男の中で車を持っている人の割合」(今
の問題では値が0.3)が必要であった
これを「男」(事象X)という条件の下で「車を持っている」
(事象Y)が起こる確率
とよび、条件付き確率 P(Y|X)と表す
重要：P(X ∩ Y) = P(X) * P(Y | X)は常に成立
XとYが独立なら、P(Y|X)=P(Y) となる
問題
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、
全体の36%の人が、そして男性では30%の人が車をもっているこ
とが分かった。
(1) このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「女性で、
かつ車を持っている」確率は？
(2) このクラスから女性を無作為に選んだとき、その人が車を
持っている確率は？
(3) (1)と(2)で、値が違うのはなぜか。
答
100人のクラスとすれば男性は90人、女性は10人。男性の30%は27人。
車を持っている人は36人なので、車を持っている女性は9人
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、
全体の36%の人が、そして男性では30%の人が車をもっているこ
とが分かった。
(1) このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「女性で、
かつ車を持っている」確率は？車を持っている女性9人を選ぶ確率
(2) このクラスから女性を無作為に選んだとき、その人が車を
持っている確率は？
女性10人から車を持っている女性9
人を選ぶ確率
(3) (1)と(2)で、値が違うのはなぜか。
(1)は同時確率、(2)は条件付き確率を求めている
おまけ
あるクラスでは、男性が90%である。そして、そのクラスでは、
全体の36%の人が、そして男性では30%の人が車をもっている
ことが分かった。
(1) このクラスから人を無作為に選んだとき、その人が「女性で、
かつ車を持っている」確率は？
(2) このクラスから女性を無作為に選んだとき、その人が車を
持っている確率は？
(3) (1)と(2)で、値が違うのはなぜか。
(4) 車を持っている人を無作為に選んだ時、その人が女性である
確率は？

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