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前回の演習問題の答え
• 問題１（章末問題9）：
ｘは平均20,標準偏差4の正規分布に従うと仮定して,大きさ
64の標本に基づく標本平均ｘが次の条件を満たす確率を求
めよ．（a）21を超える,（b）19.5を超える,（c）19と21の間にあ
る,（d）22を超える．
答え：
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 = 𝑁 20, 42
つまり、
𝜇 = 20, 𝜎 = 4
大きさ64の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える.
𝜎2
よって、 𝑥~𝑁(𝜇, )
𝑛
𝑥は平均μ＝20,標準偏差
4
64
= 0.5の正規分布に従う、𝑥~𝑁(20, 0.52 )
• 問題１（章末問題9）：
𝑥~𝑁(20, 0.52 )
標準化 : Z 
X 

𝑥 − 20
𝑧=
~𝑁(0,1)
0.5
（a）21を超える確率：
𝑃 𝑥 > 21 = 𝑃
𝑥 − 20 21 − 20
>
= 𝑃 𝑧 > 2 = 0.5 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 = 0.5 − 0.4772 ≈ 0.02
0.5
0.5
（b）19.5を超える確率：
𝑥 − 20 19.5 − 20
>
= 𝑃 𝑧 > −1 = 0.5 + 𝑃 −1 ≤ 𝑧 ≤ 0
0.5
0.5
= 0.5 + 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 = 0.5 + 0.3413 ≈ 0.84
𝑃 𝑥 > 19.5 = 𝑃
（c）19と21の間にある確率：
𝑃 19 ≤ 𝑥 ≤ 21 = 𝑃
19 − 20 𝑥 − 20 21 − 20
≤
≤
= 𝑃 −2 ≤ 𝑧 ≤ 2 = 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2
0.5
0.5
0.5
= 2 × 0.4772 ≈ 0.95
• 問題１（章末問題9）：
𝑥~𝑁(20, 0.52 )
標準化 : Z 
X 

𝑥 − 20
𝑧=
~𝑁(0,1)
0.5
（d）22を超える確率：
𝑥 − 20 22 − 20
𝑃 𝑥 > 22 = 𝑃
>
= 𝑃 𝑧 > 4 = 0.5 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 4
0.5
0.5
> 0.5 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 3.09 = 0.5 − 0.4990 ≈ 0.00
前回の演習問題の答え
• 問題２（章末問題11、12）：
一つの図に,平均10,標準偏差2の正規曲線のグラフと,この
分布からの大きさ9の標本に基づく標本平均ｘの分布曲線
のグラフを重ねて描いてみよ．次に、標本の大きさが36にす
れば, ｘの曲線のグラフはどのようになるか．
答え：
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 = 𝑁 10, 22
大きさn1=9の標本に基づく標本平均
𝜎2
2 2
𝑥1 ~𝑁 𝜇,
= 𝑁(10, ( ) )
𝑛1
3
大きさn2=36の標本に基づく標本平均
𝜎2
2 2
𝑥2 ~𝑁 𝜇,
= 𝑁(10, ( ) )
𝑛2
6
答え：
2 2
𝑥2 ~𝑁(10, ( ) )
6
2 2
𝑥1 ~𝑁(10, ( ) )
3
𝑋~𝑁 10, 22
• 大きさ9の標本に基づく標本平均𝒙𝟏 の分布曲線は元のXの曲線
に比べて、高さは３倍で、広がりは約１/３になる．
• 大きさ36の標本に基づく標本平均𝒙2 の分布曲線は
元のXの曲線に比べて、高さは６倍で、広がりは約１/６になる,
𝒙𝟏 の曲線に比べて、高さは２倍で、広がりは約１/２になる．
前回の演習問題の答え
• 問題３（章末問題１３）：
小学生1年生の体重の標準偏差が7ポンドであるとき,このよ
うな生徒100人の無作為標本の平均体重が1年生全体の平
均体重と1ポンド以上異なる確率はいくらか．
答え：
1年生の体重の確率変数をX, 平均をμ, 標準偏差を𝜎 = 7とする．
大きさ100の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える.
𝜎2
7 2
よって、無作為標本の平均体重 𝑥~𝑁 𝜇,
= 𝑁(𝜇, ( ) )
𝑛
10
X 
標準化 : Z 
𝑥−𝜇

𝑧=
~𝑁(0,1)
0.7
𝑃 𝑥−𝜇 >1 =1−𝑃 𝑥−𝜇 ≤1 =1−2×𝑃 0≤𝑥−𝜇 ≤1
𝑥−𝜇
1
=1−2×𝑃 0≤
≤
= 1 − 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.43
0.7
0.7
= 1 − 2 × 0.4236 ≈ 0.15
• 問題４（章末問題１４）：
体重の増加をもたらす新しい餌をある種の鶏の母集団から無作
為にとった25羽の鶏に与えることにした．1ヶ月後の体重増の標
準偏差は約2オンスが期待されるとして,これらの鶏を新しい餌で
飼育するとき,1ヶ月後の25羽の体重の平均と全母集団の平均の
差が1/2オンス以上になる確率を求めよ．
答え：
体重増の確率変数をX, 平均をμ, 標準偏差を𝜎 = 2とする．
大きさ25の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える.
2
𝜎
2 2
よって、 1ヶ月後の25羽の体重の平均 𝑥~𝑁 𝜇,
= 𝑁(𝜇, ( ) )
𝑛
5
X 
標準化 : Z 
𝑥−𝜇

𝑧=
~𝑁(0,1)
0.4
𝑃
1
1
1
=1−𝑃 𝑥−𝜇 ≤
=1−2×𝑃 0≤𝑥−𝜇 ≤
2
2
2
𝑥−𝜇
1
=1−2×𝑃 0≤
≤
= 1 − 2 × 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.25
0.4
0.8
= 1 − 2 × 0.3944 ≈ 0.21
𝑥−𝜇 >
• 問題５（章末問題１５）：
ある大学での過去5年間の男子新入生の体重の平均は154ポン
ドで,標準偏差は20ポンドである．今年の新入生登録名簿の中か
ら選んだ100人の学生の体重の平均が159ポンドであったとすれ
ば,今年の新入生の体重は例年の新入生の体重より重いといっ
てよいか．理由をつけて答えよ．
答え：
男子新入生の体重の確率変数をX, 平均をμ = 154,
標準偏差を𝜎 = 20とする．
大きさ100の標本は十分大きいから,中心極限定理が使える.
よって、選んだ100人の体重の平均
𝜎2
20 2
𝑥~𝑁 𝜇,
= 𝑁(154, ( ) )
𝑛
10
標準化 : Z 
X 

𝑥 − 154
𝑧=
~𝑁(0,1)
2
𝜎2
20 2
選んだ100人の体重の平均 𝑥~𝑁 𝜇,
= 𝑁(154, ( ) )
𝑛
10
𝑥 − 154
𝑧=
~𝑁(0,1)
2
理論的に、今年選んだ100人の体重の平均𝑥は例年の新入生
の体重の平均μ = 154ポンとを４．９ポンドを超える確率は、
𝑃 𝑥 − 154 > 4.9 = 0.5 − 𝑃 0 ≤ 𝑥 − 154 ≤ 4.9
𝑥 − 154 4.9
= 0.5 − 𝑃 0 ≤
≤
2
2
= 0.5 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 2.45
= 0.5 − 0.4929
= 0.0071
つまり、一般的には今年選んだ100人の体重の平均𝑥が例年の平
均を４．９ポンドを超える確率は極めて低い.
実際に、今年の体重の平均は例年の平均より５ポンド重くなって
いる．
それゆえ、重いように思われる．

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