ファクターモデルとAPT

資本市場論
（5）ファクターモデルとAPT
三隅隆司
1
ファクター・モデル
危険資産の収益は以下の2種類の要素によって決定されると考える。
 多数の資産に影響を与える(比較的少数の)共通要因
- マクロ経済要因（金利の変動、インフレ期待、原油価格等)
 当該資産特有の要因
- 企業のコスト削減努力
- 粉飾決算の発覚
- 分散化を前提にすると、資産特有の要因は無視できる。
ファクターモデル (Factor Models)
- 収益の変動は、共通要因によって決定される。
- 共通要因に対する感応度は、資産によって異なる。
2
市場モデル (1)
危険資産 i の収益率が、市場ポートフォリオの収益率に依存する
部分と、その他の要因に依存する部分とに分けられ、(1)式のよう
にあらわされるとする。
(注) (1) 式は、市場に存在する資産の収益率が多変量正規分布に従うとの仮定
から導出される。
~r     R~  ~
i
i
i M
i
where
~ ~ N (0, 2 ),
i
i
(1)
~
Cov( RM , ~i )  0
ここで、
~
~
 i  E ( ri )   i E ( RM )
~
~
Cov( ri , RM )
i 
~
Var ( RM )
(2)
市場モデルは、収益
率の発生過程に関す
る仮定から導出された
ものであって、何らか
の理論(モデル)から導
出されて収益率決定
式ではない点に注意
すること。
3
市場モデル (2) 分散分割
(1)式より、資産 i の収益率の分散を求めると、
~
2
~
Var ( ri )   i Var ( RM )  Var (~i )
(3)
右辺第1項: 組織的リスク (systematic risk)

資産収益率の変動のうち、市場全体の動きによって説明可能な部分。
右辺第２項: 非組織的リスク (unsystematic risk)
(3) の両辺を Var(ri) でわり、βi の定義等を利用して変形すると、
2
~
~
Var ( )  Var ( r )1  
i
i
iM

(4)
単回帰の場合、説明変数と被説明変数との間の相関係数（の２乗）が決定係数
(R2)に等しいことを考え合わせると、 (6 - 4)式から非組織的リスクの意味が理解
できる。
4
非組織的リスクは分散可能か？
分散化可能リスク (diversifiable risk)
 十分に分散化されたポートフォリオを保有することによって実質的に除去
可能なリスク
 しばしば、非組織的リスクは分散化可能であるといわれる。
→ このような説明は、必ずしも正しくはない。
市場モデルにおける非組織的リスクは、資産価格の変動のうち、
市場全体の動きによっては説明不能な部分のことである。


市場モデルで取り上げられている共通要因は、市場リスク要因のみで
あり、それ以外の共通要因は非組織的リスクに含まれている。
金利リスクは、共通要因の一つと考えられ、分散化によって除去可能
なものではないが、定義によって非組織的リスクに含まれる。（ただし、
金利リスクの一部は、組織的リスクに含まれていると考えられる）
5
市場モデル (3) A One-Factor Model
市場ポートフォリオの収益率が，異なる資産の収益率の共編関係
（相関関係）に対する唯一の源泉であるという One-factor モデルと
しての市場モデルは以下のようにあらわされる。
~
~
ri   i   i RM  ~i
where
~ ~ N (0, 2 ),
i
i
(5)
~
Cov( RM , ~i )  0
Cov(~i , ~j )  0
for i  j
(異なる資産の収益率の攪乱項
は相互に無相関である)

One-factor モデルにおいては、企業特有の要因は相互に独立。

共通要因は、市場要因のみ。

“ 非組織的リスク＝分散化可能リスク” が成立。
共通要因が市場要因のみという想定は非現実的。
→ Multi-factor モデルへ
6
分散化にともなうリスク低減について (1)
個別資産 i (i=1,2, …, n) の収益率が市場モデル (1) によって与えられていると
する．
いま，ｎ個の資産を等比率で保有するポートフォリオPを考えると，このポートフォ
リオPの収益率は次式で与えられる．

1 n ~
1 n
~
~
RP   Ri    i   i RM  ~i
n i 1
n i 1

1 n
1 n ~
1 n
~
   i     i  RM    i
n i 1
n i 1
 n i 1

(6)
~
  P   P RM  ~P
 
 
~
~
2
Var RP   PVar RM  Var ~P 
(7)
7
分散化にともなうリスク低減について (2)
(7)右辺第一項
 ポートフォリオの収益率の分散の組織的リスク
 市場全体の動きに連動するリスク部分
 ベータと市場ポートフォリオの収益率の分散に依存しており，分散化の程
度に依存しない
(7)右辺第二項
 ポートフォリオの非組織的リスク
 銘柄(企業)特有の要因に帰属するリスク部分
 ベータと市場ポートフォリオの収益率の分散に依存しており，分散化の程
度に依存しない
2
1
~   1   



Var




P
i
n
i 1  n 
Var ~
n
→ 0 (n → )
   ：企業特有のリスクの平均 (一定値)
8
資産価格の決定要因
金融資産のリスクの程度に応じた市場の値付けは、リスク・プレミア
ムの大きさに反映される。
CAPM :
- 危険資産のリスク・プレミアムは、市場ベータのみを反映し
て決定される。
市場ベータ以外の属性が、資産の期待収益率に影響を与えている
可能性は本当にないのか？
- 市場ベータ以外の要因でリスク・プレミアムが決定される現象
を、「（資産価格における）アノマリー」と呼ぶ。
9
アノマリー (1)
Value vs. Growth
Basu, S. (1977)
- 株価収益率(P/E)と株式リターンの関係。（NYSE, 1957-1971)
- 低P/E 銘柄は高P/E 銘柄に比べて平均的に高いリターンをあげている。
- Basu は、この結果を、「利益の短期的な増減に対する株価の過剰反応」と捉えている。
- Semi-Strong Form の効率的市場仮説への否定的結論。
Litzenberger-Ramaswamy (1979):
- 配当利回りの高い銘柄のリターンは高い。(1936-1977)
- 個人所得税がキャピタル・ゲインには軽く、インカム・ゲインには重いという税制に起因。
Stattman (1980)
- 株価純資産倍率 (PBR) の低い銘柄が平均的に高いリターンをあげている。
以上の結論は、バリュー銘柄（割安銘柄）がグロース銘柄（成長銘柄）よりも平
均的に高いリターンをあげているということを示している。
10
アノマリー (2)
Size Effects
Banz (1981):
- 企業規模の小さい銘柄のリターンは、リスク調整後でも高いという傾向が永続
的に見られる。(1926-1975)
Reinganum (1981)
- 株価収益率と株式リターンの関係は、小型株が姿を変えているに過ぎない。
- 株式リターンに対する株価収益率効果と小型株効果は、共通の見えざる要
因に起因していて、その見えざる要因は株価収益率よりも企業規模とより密
接に関係。
Chan-Hamao-Lakonishok (1991)
- 日本の株式についても、小型株効果とバリュー効果を確認。
11
市場ベータは有効か？
β
①
-0.37
(-1.21)
① βは単独でも資産収益率の有意な説明変数となって
いない。
② 企業の時価総額は資産収益率の有意な説明変数。
-0.15
(-2.58)
③ 収益率をβと時価総額について回帰しても、規模
効果は有意。
-0.17
(-3.41)
④ 簿価-時価比率の説明力は、時価総額の説明力より
大きい。
0.50
(5.71)
④
⑤
ln(BE/ME)
0.15
(0.46)
②
③
ln(ME)
Fama&French(1992)
-0.11
(-1.99)
⑤ 時価総額と簿価-時価比率について回帰した場合、
両者が資産収益率に対して有意な説明力を持つ。
0.35
(4.44)
Fama-French (1992), Table III
ここには示されていないが、E/P が資産収益率に与える
効果は、ME, BE/MEの効果に吸収されてしまうことも、
Fama-French は示している。
株式リターンの銘柄間格差に有意な影響を与えているのは、企
業の時価総額と株価純資産倍率。
ベータは有意な説明変数ではない。
12
Risk Premium vs. Irrational Pricing
Fama – FrenchによるCAPM（特にベータ）に対する否定的結論は何を意味するのか？
Two Stories:
(1) より厳密かつ現実的な資産価格理論構築の必要性
- CAPM は２パラメータ・アプローチにもとづいている。
→ 市場ポートフォリオの効率性
→ 市場ポートフォリオとの連動性の重視
- より複雑・現実的な想定にもとづいた資産価格理論においては、ベータ以外の要因がリ
スク・プレミアムの重要な決定要因となろう。
→ Fama-French の３ファクターモデル
(2) 投資家の心理的要因を考慮した資産価格理論構築の必要性
- 投資家は、必ずしも合理的ではない。
- 投資家の非合理性が、現実の資産価格が理論値から乖離させる要因となっているのでは
ないか？
→ 行動ファイナンス
（注） CAPM に関する理論と実証の展望については、以下の論文が大変参考になる。
Fama , E. F. and K. R. French, (2004) “The Capital Asset Pricing Model : Theory and Evidence,”
Journal of Economic Perspectives, Vol.18, pp.25-46.
13
Fama-French Three-Factor Model
Fama and French (1993) は、資産収益率を説明する価格モデルとして、次のような
モデルを提示した。
- 収益率は、3つの要因によって決定されることを意味しているため、Three- factor
model と呼ばれている。
E (ri )  R f  iM [ E ( RM )  R f ]   is E ( SMB)   ih E ( HML)
SMB (small minus big)
規模に関して下位50％の銘柄からなるポートフォリオの収益率と規模
に関して上位50％の銘柄からなるポートフォリオの収益率の差。
HML (high minus low)
簿価-時価比率の高い(30％の)銘柄からなるポートフォリオの収益率
と簿価-時価比率の低い(30％の)銘柄からなるポートフォリオの収益
率の差。
14
Multifactor Models (1)
~
~
~
~
ri   i   i1F1   i 2 F2     iK FK  ~i
(8)

資産の収益率は、企業特有の要因（ε）および複数の共通要因 (common
factors； Fk によって表される) によって決定される。

各資産は、共通要因に対して異なった感応度（β）を有する。

企業特有の要因（ε）は、企業間で相互に無相関であり、十分に分散化された
ポートフォリオにおいては、総分散に対する寄与は無視できる。
共通要因の求め方:
•
因子分析を用いて特定
•
マクロ経済変数
•
企業特性
15
Multifactor Models (２) : Factor Betas
ポートフォリオのファクター・ベータ
所与のファクターに対するポートフォリオのファクター・ベータは、当該ファクターに対す
る各資産のベータを、当該資産の構成比率によって加重平均したものである。
(8) で与えられる K ファクターモデルを考える。資産 i ( I = 1,2,…,N) の保有比率が
xi であるようなポートフォリオ p をファクターを用いて表すと以下のようになる。
~
~
~
~ ~
Rp   p   p1F1   p 2 F2     pK FK1   p
(9)
 p  x11  x2 2    x N  N
 p1  x111  x2  21    x N  N 1
 p 2  x112  x2  22    x N  N 2




 pK  x11K  x2  2 K    x N  NK
~  x ~  x ~    x ~
p
1 1
2 2
N
N
16
Multifactor Models (3) : Covariances
相互に無相関であるK個のファクターが存在しており、資産ｉおよびｊの収益
率は、それぞれKファクターモデルにより以下のように表されるとする。
~
~
~
~
ri   i   i1 F1   i 2 F2     iK FK  ~i
~
~
~
~
r j   j   j1 F1   j 2 F2     jK FK  ~j
このとき、資産ｉおよびｊの収益率の共分散は、以下のように与えられる。
~
~
~
 ij  i1 j1Var( F1 )  i 2  j 2Var( F2 )    iK  jKVar( FK )
(10)

資産収益率間の共分散は、ファクターの分散およびファクター・ベータのみに依存。

企業特有の要因は、他の要因とは無相関だから、ポートフォリオの分散には無関連。
共通要因の間に相関がある場合、(10) は以下のように書き換えられる。
K
K
 ij  
m 1 n 1
~ ~
 im  inCov( Fm , Fn )
17
Multifactor Models (4) : Variances
相互に無相関であるK個のファクターが存在しており、資産ｉの収益率が、K
ファクターモデルにより以下のように表されるとする。
~
~
~
~
ri   i   i1F1   i 2 F2     iK FK  ~i
このとき、資産ｉ収益率の分散は、以下のように与えられる。
~
~
~
2
2
2
~
Var(ri )   i1Var( F1 )  i 2Var( F2 )    iKVar( FK )  Var(~i )
(11)
資産収益率の分散は、当該資産のファクター・リスク（Ｋ種類)および
当該資産特有のリスクの和として与えられる。
18
APT (1) : 仮定
APT（Arbitrage Pricing Theory : 裁定評価理論）の仮定
1. 資産の収益率は、ファクター・モデルにしたがっている。
2. 裁定機会は存在しない。
3. 多数の資産（証券）が存在しており、企業特有のリスクを分散化するポー
トフォリオを組成することができる。（企業特有のリスクは無視できる）
4. 資本市場は完全競争的である。
APT のアイディア：
任意の資産（ポートフォリオ）に対して、それと同じファクターベータを有する（同じ収益
をもたらす）複製ポートフォリオを考える。上記の仮定の下では、均衡において、この2
つのポートフォリオは、同一の収益率をもたなければならない。
19
APT (2) : Factor Portfolios [1]
ファクター・ポートフォリオ (Factor Portfolio)
ある1つのファクターの感応度のみが1で、他のファクターの感応度がゼロと
なるようなポートフォリオ
(例１) ファクター・ポートフォリオの組成
A, B, C という3つの資産が存在し、その収益率は、以下のような２ファクター・モデルに
よって表されているとする（さらに、各ファクターの期待値はゼロであると仮定）
~
~
~
rA  0.08  2 F1  3F2
~
~
~
rB  0.10  3F1  2 F2
~
~
~
r  0.10  3F  5 F
C
1
2
このとき、２つのファクター・ポートフォリオを組成することを考える。
20
APT (3) : Factor Portfolios [2]
各資産の保有比率が xA, xB, xC であるようなポートフォリオ p を２ファクター・モデルで表す
と次のようになる。
~
R p  (0.08 x A  0.1xB  0.1xC )
~
~
 (2 x A  3xB  3xC ) F1  (3x A  2 xB  5 xC ) F2
ここで、第１ファクターの感応度のみが１であるようなファクターポートフォリオにおい
ては、以下の条件が満たされなければならない。
2 x A  3 xB  3 xC  1

3 x A  2 xB  5 xC  0
 x  x  x 1
B
C
 A
→
1
4
x A  2, xB  , xC  
3
3
同様にして、第２ファクターの感応度のみが１であるようなファクターポートフォリオは、
以下のような保有比率によって組成される。
2
4
x A  3, xB   , xC  
3
3
21
APT (4) : Factor Portfolios [3]
K ファクター・モデルにおけるK 個のファクターのリスク・プレミアムを、それぞれ
λ1, λ2, … ,λK によって表す。
1
4
 p1  2(0.08)  (0.1)  (0.1)  0.06
3
3
フォリオのリスクプレミアムを求める。なお、 →
2
4
 p 2  3(0.08)  (0.1)  (0.1)  0.04
安全利子率は４％であるとする。
3
3
(例1) で求めた２つのファクター・ポート
各々のファクター・ポートフォリオは、
次のような式で表される。
各ファクター・ポートフォリオのリスク・
プレミアム
→
→
~
~
~
R p1  0.06  F1  0 F2
~
~ ~
R p 2  0.04  0 F1  F2
λ1 = 0.06 – 0.04 = 0.02
λ2 = 0.04 – 0.04 = 0
22
APT (5) : 任意の資産収益の複製(Tracking) [1]
ファクター・ポートフォリオおよび安全資産を適当に組み合わせることによっ
て、任意の資産の収益を複製することが可能となる。
(例２) ファクター・ポートフォリオによる資産収益の複製
(例１)で求めた２つのファクター・ポートフォリオおよび安全資産(安全利子率４％)を
用いて、以下のような収益構造を有する資産を複製することを考える。
~
~
~
r  0.086  2 F1  0.6 F2
ここで、２つのファクター・ポートフォリオは、
以下によって与えられている。
~
~
~
R p1  0.06  F1  0 F2
~
~ ~
R p 2  0.04  0 F1  F2
複製ポートフォリオにおける各資産の
保有比率は以下の通り
ファクター・ポートフォリオ１・・・２
ファクター・ポートフォリオ２・・・－0.6
安全資産
・・・ –0.4
23
APT (6) : 任意の資産収益の複製(Tracking) [2]
第ｊファクターのファクター・ベータがβijであるようなＫファクター
モデルにしたがう収益をもたらす投資は、第 1 ファクター・ポート
フォリオをβi1、第 2 ファクター・ポートフォリオをβi2、・・・第 K ファ
クター・ポートフォリオをβiK、安全資産を１－Σjβij といったウェイト
で組成されたポートフォリオによって複製される。
また、複製ポートフォリオの期待収益率は次式によって与えられる。
r f   i11   i 2 2     iK K
(12)
ここで、λ1, λ2, … , λK は、ファクター・ポートフォリオのリスク・プレミアムであり、
ｒｆは、安全利子率である。
24
APT (7)
複製ポートフォリオの期待収益率と、被複製資産の期待収益率は等しくなけれ
ばならない。(APT)
E (~
ri )  rf   i11   i 2 2     iK K
(13)
- 両者が等しくない場合、裁定機会が存在する。
- 前者が後者より大なる場合、被複製資産をショートにして得た資金で、複製
ポートフォリオを保有すれば、ゼロ・コストで確実に収益を上げることができる。
(例２)の場合
組成されたポートフォリオの期待収益率:
- 0.4 (0.04) ＋ 2 (0.06) – 0.6 (0.04) = 0.08 （８％）
被複製資産の期待収益率
8.6％
｝
裁定機会の存在
25
CAPM vs. APT
CAPM :
Pros ：
Cons ：

全ての資産の収益率に対して適用可能

シンプルであり、ファクターの解釈が容易にできる。

市場ファクターのみで説明可能かという疑問

「マーケット・ポートフォリオ」は、組成不可能という根本的疑問
APT :
Pros ：
Cons ：

「裁定機会の非存在」という単純なアイディアにもとづいた説
得力のある評価モデル。

ファクターは観察可能であり、実存する資産による分散化され
たポートフォリオにもとづいて導出されるリスクとリターンの関
係を描写。

資産の数が一定数以上（資産に特有のリスクを分散化できる
だけの数）なければ適用できない。

ファクターの解釈が困難。
26

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