長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 3D-CAD/CAEの基礎概要材料に外から力が作用すると応力が発生し、それに見合った変形が生じる。変形が発生すると、材料に内力が発生し、内力は外力と釣り合い変形が止まる。この応力と変形（歪）の関係を本講座では復習する。学習の内容１．応力と歪２．真っ直ぐな軸に外力が軸方向に作用する場合３．真っ直ぐな梁の曲げ４．軸のねじり５．有限要素法の中身６．塑性変形の開始 1 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 第１章１：釣り合いの状態力の釣り合いとモーメントの釣り合いを満たすことによる１．力の分解と釣り合い釣り合うとはその方向の力の合計がゼロ。（力が働いていないのと同じ）水平、垂直の両方とも釣り合う事により水平にも、垂直にも動けない。棒に方向が反対で、大きさが同じ力が作用している。（偶力によるモーメント）力は釣り合っている。→位置（重心）は動かない。モーメントは釣り合っていない。→まわる。 2 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ２．モーメントの釣り合い（Ｏ点回りに回転させようとする力の成分） O点回りのモーメント M  rF 大きさ：（ベクトル）  r ( F sin  )  (r sin  ) F 偶力モーメントが働く場合 O点回り Mo   pf  ( p  c) f  cf p O c=a+b b a f A C C点回り B f Mc  af  bf  cf A点、B点でも同一の値。つまり剛体全体に同一のモーメントを発生させる。どの点もｃｆのモーメントで自転しようとする。釣り合うためにはこれと反対のモーメントが必要。 3 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ３．外力と内力棒を長手方向に左右に外力を作用させる。すると左から作用させた力と右から作用させた力で釣り合う。仮に材料の仮想面で考えると、力は棒の内部では同じ面の右向きの面には右向きの、左向きで考えれば左向きの力が作用している。このように面と直角に作用する力を軸力。材料をはさみで切る時のような、仮想面に面と平行な力が作用する力のかけ方がある。このような力を剪断力という。 4 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４．応力とひずみここから、考え方だけでなく、数値が導入されます。４－１．垂直応力 σ(N/m2) 垂直応力：応力とは   P/ A 面積当たりの力を示す。つまり、単位面積当たりどの程度の力が作用するかで考える。面に直角に作用し、正（負）のほうを向いた面に正（負）の力が加わると、正の応力、あるいは引張力を正の応力とする。正（負）のほうを向いた面に負（正）の力が加わると、負の応力、あるいは圧縮力を負の応力とする。演習１： 60Kg の人が 1cm2の鉄の棒にぶら下がった。応力は？ 1Kgｆ=9.8N. 5 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４－２．垂直歪軸力を作用させると内力が発生し材料は伸びる。（圧縮なら縮む）もとの長さが倍なら力が同一でも倍伸びる。従って伸びの長さではなく、伸び量が元の長さの何パーセントかで歪を表す。垂直歪  x x 歪は軸力を倍にするとバネと同じく、倍伸びる。外力が倍でも断面積が倍なら応力は同じ。垂直応力を倍作用させると垂直歪も倍になる。つまり比例する。その比例定数をＥで示しヤング率（縦弾性係数）と言う。これをフックの法則と言う。 F x    E  E A x 応力と歪で考えることにより、長さ（形状）とか断面積（太さ）を考えることなく、材料の種類だけ考慮すればよい。 6 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４－３．ポアソン比軸方向に引張力を作用させる。軸方向は伸び、それと直角方向は縮む。両歪の比をポアソン比と呼び軸方向の歪（数値は正） l  l0 x  l0 直径方向の歪（数値負） y  d  d0 d0 y   x 通常ポアソン比は、横歪の少ないガラスなどの０．２位から体積変化しないゴムなどの０．５位であり、鉄などは約０．３程度である。圧縮力の時も歪の符号が変わるだけで上の式は成立する。 7 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４－４．剪断応力と剪断歪 l 離れた面積 A に剪断力 P が作用している。すると単位面積当たりの剪断力（剪断応力）は    P A  この力が働くことにより、四角であった断面は λ だけ菱形に変形する。この変形量 λ を l で割り単位長さ当たりの変形量（剪断歪）を求める。 l ここで、変形量は小さいのでと思って構わない。 tan  l  今、γ と τ は比例し、その比例定数を横弾性係数Ｇとする。   G ＥとＧとνの間には以下の関係があることが後で分かる。 G E 2(1   ) 8 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４－５．応力歪線図軟鋼と硬鋼を軸方向に引っ張った時の応力歪線図を示す。 σP : 比例限界、σS : 降伏応力（軟鋼特有）、 σB : 引っ張り強さ、 σY : 0.2%耐力（0.2％の永久歪が残る応力）Ｅ：ヤング率降伏応力：σS または引っ張り強さ:σB 0.2％耐力σY (MPa) (MPa) ヤング率：Ｅ (GPa) ポアソン比：ν (%) 軟鋼２００～２１０ 0.3 ２００～２４０３５０～４５０硬鋼２００～２１０ 0.3 ２６０～３８０４５０～５５０ Al合金７０～７５ 0.3～0.33 １１０～１３０１４０～１６０耐力より大きい応力が作用する場合、材料に塑性変形発生。それを通常“壊れた”と言う。 9 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ４－６．許容応力と安全率機械の設計を行うとき、変形や破壊は具材にどのような応力が働くかによる。材料欠陥、応力集中、繰り返し荷重等により作用させうる荷重が決まる。この荷重を許容応力と呼ぶ。これに対して設計基準強度（例えば引っ張り強度、降伏応力、あるいは疲労限度など）が何倍になっているかを安全率Ｓで表す。Ｓ＝（たとえば引っ張り強さ）／（設計上材料に作用する最大応力）演習２． E=210GPa, F=5000N, L=200mm, 直径10mm. 応力、歪、伸びλ を求めよ。答え： σ=63.7MPa, ε=0.000303, λ=0.0606mm 10 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ５．応力と変形の取り扱い左の様な外形のものに外力が作用する。材料はＡｌで E=70GPa。長さ全体の伸びを求める。 A1  D12 / 4 添字１での断面積はよって応力、歪、伸びは P 4P  , 2 A1 D1 1  P 4P  , 2 A2 D2 2  1  1 E  4P ED12 4Pl1 , 1   1l1  ,  2   2l 2  ED12 同様、添字2の部分では 2  2 E  4P ED2 2 4Pl 2 ED2 2 よって、全体の伸びは 4P  l1 l 2  4  6 10 3   1   2      2 2 E  D1 D2  70 10 9    0.1 0.2     109 10 6 (m)   0.03 2 0.015 2  11 サンブナンの原理上記計算では、サンブナンの原理が成立すると仮定して計算されている。サンブナンの原理とは円形の断面は円形のままで、かつワーピング（平らだった面が平らでなくなること）しない事を言う。これは、太い部分と細い部分の結合部の様な所では。太い部分の中央部のみが右に引っ張られ外周部より変位が大きく、厳密には平らではない。しかしこのような現象は、結合部から少し左の部分では、面全体に同一の応力が作用し面の平らが保たれる。と考えるのである。これを、角のような応力が集中する、細かい部分まで計算しようとした場合有限要素法のようなものが有効。 12 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 積分を用い、慣れる。長さ l 、断面 A の棒の下に質量 Mが吊るされている。棒のヤング率 E, 密度 ρ, 重力加速度ｇ, として、棒に生じる最大応力、および棒全体の伸びを求めよ。自重は無視できない。図のように座標 x をとる。ｘまでの棒の質量は ρAx. xにおける荷重と応力は P( x)  ( M  Ax ) g ,  ( x)  P( x)  M     x  g A  A  よって最大応力はｘが最大の l で生じ、 M   l  g  A   max   また、ｘにおいて、σ（ｘ）の応力が作用し、ｄｘの長さに対しｄλだけ伸びるとすると、ｘでの歪は  ( x)  d , dx d   ( x)dx   ( x) E dx  g M    x dx E A  13 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 積分実行この伸びをｘ＝０からｘ＝l まで足し合わせる。（積分する） g M gl  M 1     d   x dx    l   0 0E A E A 2    l  l と全体の伸びが求められる。 14 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 ６．棒の伸びに関する不静定問題既に示した左の問題を考える。添字1，2両方の部分の応力と歪（ l をかけると伸び）を求める。 A1  D12 / 4 添字１での断面積はよって応力、歪、伸びは  1  P 4P  , A1 D12 P 4P , 同様、添字2の部分では  2  A2  2 D2 1  1 E 2  よって、全体の伸びは   1   2  4P E  4P ED12 2 E  1   1l1  , 4P ED2 2  l1 l2    D12 D 2 2 , 4Pl1 ED12  2   2l 2  4Pl 2 ED2 2    と各部の力の釣り合いから応力と歪が決まる。これを静定問題と言う。 15 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 これに対し、以下に示すような問題を不静定問題と言う。左のような3本の棒でできていて、一本がヤング率が異なる。これをらをまとめて荷重Ｐで引っ張る。各棒の応力と伸びを求めよ。今、棒を上から１，２，３と呼ぶ。各棒に作用する力をＰ１，Ｐ２，Ｐ３． P  P1  P2  P3 外力と内力の釣り合い内力を応力で応力と歪の関係、フックの法則 1  P1  ( D 2) 2  1  E1 ,  4 P1 D 2 2  , 4P2 3  4 P3 D 2 -（２）  3  E1   1 -（３） D 2  2  E 2 , , -（１）ここで歪は3本の棒全てで同じという条件が適応されている。このように力の釣り合いだけではその位置（この場合、棒）の力（応力）が決められず、歪（曲げなら傾き角）などの条件を必要とする問題＝不静定問題歪が同じなら P1  D 2 4 E1 , P2  D 2 4 E 2 , P3  D 2 4 E1  P1 -（４） 16 長岡モノづくりアカデミー 3D-CAD/CAE コース ’15.9 これなら（１）式に入れ歪が求められる。 P D 2 4 (2 E1  E 2) , 歪が分かれば（４）式より軸力が分かる。 E1 P1  P3  P, 2 E1  E 2 応力は断面積で割り全体の伸びは歪より 1  3    l    4P D 2 (2 E1  E 2) P2  4 E1P , 2 D (2 E1  E 2) -（５） E2 P 2 E1  E 2 2 4E 2 P D 2 (2 E1  E 2) 4 Pl D 2 (2 E1  E 2) と求められる。 17