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２章：成層圏の成り立ちとしての放射について
放射伝達について若干ー＞成層圏の成り立ち
Newton冷却近似について
大気の全非断熱加熱を場の関数としてのせる：放射による加
熱＋凝結熱＋対流＋乱流（３、４項は力学過程であるが、小
さなスケールでこの場合非断熱に入れてある）
年平均された放射による加熱分布（モデル）：
d’Q/dt （結果としての温度の情報も入っている）
上図は太陽放射（どこも加熱）、中図は赤外放射（大体冷
却、赤道下部成層圏は加熱）、下図はNetの放射加熱（大
体のところは冷却、熱帯成層圏では加熱）。Ｋ／dayの単
位 ->力学的には、このような放射加熱があったとき、大
気はどのように運動しているか（成層圏は年変動が大きい
が）？
図：東西平均した大気の非断熱加熱（ d’Q/dt / cp 、単位
は K / day ）。上図は北半球冬、下図は夏の緯度—高度断
面図。影の部分は冷却を示す。この図は熱力学の式と運
動の観測量（大規模場のみ）から、逆算してある。熱帯対流
圏中層は加熱
気象力学の問題（運動の表れ）を考える時は移流のところ
を解くことが主な問題となっているよう。
２−１：放射の基礎
（１）放射伝達方程式
大気中の任意の所で、波数νと方向を指定して放射強度 Iν を定義する。高さzで、小さ
な水平の面積 dA を通り、鉛直軸とθをなす方向を中心とした立体角
d（φは動径方向）にむかう光の波数νを中心にdνの範囲の光によって、単位時間に流
  sin dd
れるエネルギー（Wの単位）が
IνdωdνdA’
となる量である。だから、Iνdνは W/m2/str の単位
また、dA’は面素をθの方向から見た時の断面積で次の関係
dA'  dA cos
鉛直方向にz、z＋dzの２つの面を考える（大気中のある層）。成層圏において散乱を考えなければ放射エネルギーについ
て下の式がなりたつ。（放射エネルギーの伝達で、吸収と放出が考えられる）
dIν＝ρdz secθ（ —kνIν＋eν）
ここで、
kν：吸収係数
eν：単位質量あたりの放出量
ρ：ここでは吸収物質の量（大気の密度ではない）
である。
また、キルヒホッフの法則なる、
（放出と吸収の比は黒体放射スペクトルのエネルギー分布からきまる）から
eν＝kνBν
なる式を使うと、
熱放射の伝達を記述する微分方程式として
cosθ dIν／dz＝— kνρ（ Iν— Bν）
波長の長い遠赤外にたいして、空気分子の散乱は無視できるので上のような式をみたす
（２）上下フラックスの近似（上向きと下向きのみにする） -鉛直１次元的取り扱いにすることIνは—般にθの関数で、θ方向に展開して議論、すべての方向をあつかうと自由度が増えてたいへんなので、
上向きと下向きの２つにわけて、水平なｚ面を通して—方の側から他の側へむかうすべての方向の光エネルギー流の積
分である、放射フラックスをあつかおう（鉛直方向だけの議論になる）。

立体角 d  sin ddで、動径φ方向は一様とすると2πをかければよいであろう。
定義の式として（立体角で積分すると）：
Fν↑＝∫０π／２（Iνcosθ）２πsinθdθ
上半分の積分上向きフラックス
π
Fν↓＝ー∫π／２（Iνcosθ）２πsinθdθ
下向きフラックス
Iνがθによらず一定（等方的）のときは積分してみると、
Fν↑＝Fν↓＝πIνとなる。
Fν↑のみたす式の導出：
cosθ dIν／dz＝— kνρ（Iν— Bν）
の両辺にcosθをかけて積分すると、
２π／３ d／dz Iν＝ — kνρ（Fν↑—πBν）
Fν↑＝Fν↓＝πIνを用いて
ここからπBν＝Bνとおく＊注意
２／３ d／dz Fν↑＝ — kνρ（Fν↑—Bν）
d／dz Fν↑＝— ３／２kνρ（Fν↑—Bν）
とすれば、上下フラックスにたいする吸収係数は、前に定義したものの 1.5 倍になっている。もうすこし込み入った計算で
は、1.66 倍になるらしい。
光学的厚さの導入：
wν＝３／２∫z∞ kνρdz
なる量を導入する。 dwν＝ - ３／２kνρ dz で、これはνの光に対して有効な吸収物質の量をあらわすもので、（∞から z
までの）光学的厚さと呼ばれる。 wνを用いると、みたす式は
d Fν↑／dwν＝ Fν↑— Bν
下向きは
d Fν↓／dwν＝—Fν↓＋ Bν
となる。
ー＞成層圏ではどんな特徴に？
（３）成層圏の様子：灰色大気での放射平衡
波長依存性はかなり複雑で—＞具体的にはそれぞれ計算が必要—＞放射屋さんの仕事
ここでは定性的な話しをする。
kνを波長によらず—定として解いてみる。 —＞等温層としての成層圏の生成論としてのみ
ここで、B＝∫０∞
dF↑／dw ＝ F↑ — B
dF↓／dw ＝ —F↓＋ B
４
Bν dν＝σT （ボルツマンの法則）
放射平衡の条件：Ｎｅｔの放射フラックスとしてF↑net ＝F↑—F↓を定義して、これのたまりがないことで決まるB（w）（温
度）をきめることにする(たまりがあると温度が変化していくので）。
式であらわすと、
d（F↑net ）／dw ＝d（F↑—F↓）／dw＝０
F↑net ＝—定＝ J０
という条件である。
さらに、大気上端で逃げるエネルギー F↑(0)をJ０（これは入射する日射量（—短波反
射）であろうから）で、それは F↑net にも等しいとして解くと、
Ｂ（温度）は
B＝J０（１／２＋w／２）
また
F↑＝J０（１＋w／２）
F↓＝J０（w／２）
のように決まる。図としては右のようになる（光学的厚さを鉛直座標として）
大気上端近くでは（成層圏では）、下向きフラックス
はゼロに近い
w＝２
光学的厚さをふやすと、そのまま下にのびる、Tが増加する
———＞温暖化、温室効果
地面の温度をTgとする。それを黒体としてBgとかくと、これが
地面でのF↑と同じになる。
Bg（ Tg ）＝F↑g＝J０／２＊（wg＋２）
＝B（wg）＋J０／２
地面温度（左辺）と地面と接する大気の温度（右辺の１項）と
差がでてくる。
最期に、wを高さに変換する：
吸収物質の密度は静力学平衡の大気密度とおなじように指
数関数で分布すると仮定
ρ（z）＝ρ０exp（—z／Hs）
Hsは吸収物質のスケールハイト（水蒸気の場合２km程度）
B（w）＝J０／２（w＋１）
として
B（z）＝J０／２（wg exp（—z／Hs）＋１）
右が鉛直に広げた図：←これまでは、物質の量としての分布
であった。ー＞成層圏では等温層のようになっている。
大気の上端に等温の成層圏ができる
＜— w≒０のところで密度が小さいので引き
のばされて等温層になる。
外からみた地球大気の相当黒体温度は
B（Te）＝F↑（０）＝J０
一方成層圏の温度は式 B＝J０（１／２＋w／２）から
B（０）＝J０／２＝B（Te）／２
と低温になる。
実際には地球のように成層圏でオゾンによる高温化あり。
惑星によって異なる。ー＞図を参照
●対流圏
光学的厚さwgが大きいと下層の温度がおおきくなる、温度
傾度もおおきくなる——＞断熱勾配より大きいと対流不安定
がおこって、対流がおこるであろう。
-＞熱帯対流圏の高度については１章で述べた。
結果としての成層圏の普遍性
２−２成層圏オゾンによる短波吸収
cosθ dIν／dz＝— kνρ（ Iν— Bν）
の式で、短波の場合はBνは考えなくてよいであろう。そうす
ると、
dIν／dz＝— secθkνρIν
今の場合は太陽の天頂角をχとし、フラックスは下向きなの
で、
dIν／dz＝ secχkνρIν
のようになるであろう。
解は
Ｉν(z) = Ｉν(∞) exp（ -（∫ｚ ∞ kνρ dz）secχ )
成層圏オゾンによる短波吸収の大気加熱率は
Ｑ＝secχkνρIν ／ ρa Cp
ここで、 ρaは大気密度、 Cpは定圧比熱である。
大気加
熱率と
冷却率
短波長のスペクトルの例：
成層圏は比較的簡単、一方対流圏は雲がありその散乱
を考えているので、はるかに複雑な計算になる。
２—３ Newton冷却近似：
エネルギーフラックスのたまりが大気温度の変化をもたらすので、
ρa Cp dT/dt = - d/dz (F↑—F↓)
のようになるであろう。ここで、ρa =kg/m3は大気密度である。 Cp=J/K/kg は定圧比熱。
右辺は、
d／dz（F↑—F↓）= —kρ（ F↑＋F↓—２B ）
（ｋに1.5のfactorを含める）
成層圏ではF↓は無視（大気の上端では0であった）、F↑ は殆ど変化なしと仮定、B も殆ど変化なしとする。
r＝ρ／ρaとすれば、上の式は
Cp dT／dt＝—２k r B
＋k r F↑
のようになる。
平衡から少ししかずれないとすれば、 B＝B０＋dB／dT dTみたい
に書けるであろう。そうすると
dT／dt＝—２kr／Cp dB／dT dT—２kr／Cp B０＋kr／CpF↑
このような線形近似（右辺の１項）をNewtonian coolingの近似とよぶ。
温度擾乱に伴う力学の議論でよく使う（あとの議論のいろいろの所でこの近似をつかう）。
２kr／Cp dB／dT ：Newton冷却係数とよぶ。
Dickinsonの値をしめしておこう、この程度でもと
にもどる——＞１０日くらいまたはそれより早
い！
左がNewton冷却係数で
右は全体的な冷却を示す（Ｋ／ｄａｙの単位）
中間圏ではもうすこし緩和時間は早いようである（数
日？）。
実際は大気放射は複雑である
太陽と地球大
気の温度の
黒体放射ス
ペクトル(a)
大気上端から
11kmまでの
吸収率(b)
地表面までの
吸収率
紫外線はほと
んど吸収
波長に関して
平滑化してあ
るが、波長依
存性は複雑
-＞それぞれ
に計算する必
要がある。
赤外のところの様々な物質の吸収率、
schematicに書かれている。
２−４熱帯圏界面層の放射過程の例（下部成層圏の境界近くの話）
Thuburn and Craig, 2002, GRL：１次元放射対流モデルを用いて15μm CO2バンドが熱帯圏界面の決定に重要であること
を示している。CO2の効果は140mbあたりの高度でHeatingになっている。対流は140mbくらいまでしか効いていないよう。
より高い高度では大循環と放射で決まるー＞熱帯圏界面層の議論
オゾン分布と標準実験からの平衡温度、四角は対流の
上端、ダイアモンド印がcold point
水蒸気の吸収放出による全赤外加熱（K/d）
O3の吸収放出による
全赤外加熱（K/d）
CO2の吸収放出による
全赤外加熱（K/d）
CO2濃度を、85.9pptv, 455pptv, 2.40ppmv, 12.7ppmv に変化させ
たときの、左は平衡温度の変化、量の増加にともない対流上端
とcold pointが分離される、矢羽根は量の増加に対応、右は加熱
率の変化
補足：スペクトルが複雑なので各波長に関して解く必要がでてくる。
以前の各波長ごとの放射の式は光学的厚さを使って、
d Fν↑／dwν＝ Fν↑— Bν
（d Fν↓／dwν＝—Fν↓＋ Bν）
波長を区別する記号は省く
Bを既知関数とすると、
dF↑／dw—F↑＝—B
は—階の微分方程式
dy／dx＋P（x）y＝Q（x）
とおなじ形で、
一般解は y＝exp（—∫Pdx）（ ∫exp (∫Pdx) Qdx + C ）なので、これを使うと
Ｐ＝－１、Ｑ＝－Ｂとして
F↑＝Cexp( w )+ exp （w）∫exp（—w）（—B）dw
の形になる。
積分定数Cをもとめること：
吸収係数を比較的簡単にし
た例：金星大気
—＞地面wgで B（Tg）とする（境界条件）。また積分の範囲をwgからwとする。 w＝wgのときは第２項は消えるので、
B（Tg）＝Cexp（wg)
から定数Cは
C=B（Tg）exp（—wg)
となるので、結果として、
F↑（ｗ）=B（Tg）exp（—（wg—w））
＋∫wwg B（w’）exp（—（w’—w））dw’
がえられる。（Bの前の符号をかえて、積分範囲をいれかえる）
d F↓／dw＝—F↓＋ B
については（下向きフラックス）
dy／dx＋P（x）y＝Q（x）
＃ y＝exp（—∫Pdx）（ ∫exp (∫Pdx) Qdx + C
F↓＝Cexp（—w）＋
P＝１、 Q＝Bと対応させて
exp（—w）∫０w exp（w） B dw
大気上端w＝０で、下向きはゼロとすれば（境界条件）、C＝０として
F↓（ｗ）＝∫０w B（w’）exp（—（w—w’））dw’
別の形として吸収物質量として
u（z）＝∫z∞ ρ（z）dz
を用い、透過関数を使った式では、
ua 、 ub≧ua として、（ b が下層にあるとする）
ua＝∫za∞ ρ（z）dz,
F↑（ｗ）=B（Tg）exp（—（wg—w））
＋∫wwg B（w’）exp（—（w’—w））dw’
ub＝∫zb∞ ρ（z）dz,
として
τ（ub, ua）≡exp（—（w（ub）—w（ua））＝exp（—∫ua ub k（u）du ）
（光学的厚さ w＝∫z∞ k ρ（z）dz
のようにτ（透過関数）を定義する
だから
dw=kρ（—dz） du＝—ρdz ｄｗ＝ｋdu
）
F↑=B（Tg）exp（—（wg—w））＋∫wwg B（w’）exp（—（w’—w））dw’
は
∂τ／∂u’ ・ du’＝∂τ／∂w’ ∂w’／∂u’ du’ ＝ —τ ｋ du’ = - τdw’
で符号がかわるので、
F↑（u）＝B（Tg）τ（ug 、 u）— ∫uug B（u’）∂τ（u’、u）／∂u’ du’
τは温度や圧力によって変化する、さらに光の波長依存性などを考慮して、適当に平均化。
ー＞このような式を解くことになる。

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