I(x=0)

第４課輻射の方程式 (Equation of Radiative Transfer)
２００５年１１月１４日
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
今回のキーワード
吸収断面積(Absorption Cross Section) σ
光学的深さ(Optical Depth) τ
源泉関数(Source Function) S
輻射の方程式(Equation of Radiative Transfer)
４．1．吸収断面積 σ
σ：粒子断面積
ｎ：粒子数密度
ｄｘ
Ｉ（ｘ）＋ｄＩ
Ｉ（ｘ）
σ
？
ｄI＝－Iσｎｄｘ
＝－I・ｄτ
ｄｘ
正面（面積Ｓ）から見ると
総断面積 Σ
σ
S
σ
σ
S
σ
Σ＝σｎSｄｘ
σ
被覆率 C
σ
σ
C=Σ/S＝σｎｄｘ
光学的深さ（ｏｐｔｉｃａｌｄｅｐｔｈ） τ
前頁ではｄｘを十分に小さく取り、Σ/S＝ｄτ＜＜１の場合を考えた。この場合粒子
同士の重なりが無視できるので被覆率C=dτが成立する。
しかしｄｘが大きくなると、粒子が重なって見えるケースが現れてくる。例えば、Σ＝
ｎσｄｘ＝S（ｄτ＝１）の場合、粒子の重なり合いが無ければSを正面から見たときに
丁度完全に粒子断面積で覆われて光は全て吸収される。しかし、重なりがランダ
ムに起こるので隙間が残り、通過する光がある。つまり、被覆の効率が下がるの
で、C<ｄτとなってくる。
問題は単位面積当たり総吸収断面積（＝光学的深さ）τ＝ｎσｘと被覆率Cの関係で
ある。
τ＜＜１
τ≧１
横から
正面から
横から
正面から
光学的深さ τ と被覆率 C
τ＝σ・ｎ・ｘ＜＜１の場合、τ＝C
この時、隙間の割合 T＝１－C=1-τ
τが大きくなった場合、上の図のようにτをN枚のスライスに分けて、個々のスライスの
光学的深さ（τ/N)＜＜１とする。スライスの隙間率 TN＝１－（τ/N) であるから、N枚
重ねたスライスの隙間率は T=（TN）N＝[1-(τ/N)]N である。スライスをどんどん薄くし、
その分スライスの数をふやすと、

N
N

    

  
N
x 
T  lim TN   lim 1    lim 1     lim 1  x  exp(  )
N 
N  
N  
N
N   x





こうして、光学的深さτと透過率T、被覆率Cの関係は、
T=exp（－τ）、
C=１－T＝１－exp（－τ）とわかった。
τ＜＜１のときは、C=１－（１－τ）＝τで最初の結果が確認される。
先に上げたτ＝１、粒子の重なりが無ければ完全被覆になる、場合には
ｄｘ
T=１/e であることも分かる。
微分方程式による考え方
授業の最初に出てきた図に戻ると、
ｄI=-Idτであるから、
I
I－Iｄτ
dI
  I , I    I   0  e 
d
右上の解に出てくる eーτが最初の導出にあったTにあたる。
ここまでは途中の粒子は何の光も放出せず、もっぱら光を吸収するだけと仮
定していた。
次に、粒子が吸収と同時に自身で光を放出する場合を扱う。
第１課の復習：
４πεｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率
（ε＝体積輻射係数）
ｄΩ
ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ
ｄＳ
ｄＸ
ｄω
Ｘ
ｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射係数をεとする。ｄＳから見て、ｄΩに含ま
れる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄΩｄＸ内の各点からｄＳを見込む角はｄω＝ｄＳ/Ｘ２
したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、
（４πεｄＶ）（ｄω/４π）＝（４πεＸ２ｄΩｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄΩ。
この式を見ると、ｄX部分からのIへの寄与ｄI＝εｄX であることが分かる。
したがって、２）の場合は
I=∫ｄI＝∫εｄｘ
吸収：ｄＩ＝－ＩσｄＮ＝－Ｉσｎｄｘ＝－Ｉκｄｘ＝－Iｄτ
放射：ｄＩ＝ εｄｘ
Ｉ（ｘ＋ｄｘ）
吸収と放射の両方を合わせて、
ｄI=-Iκdｘ＋εｄｘ
Ｉ（ｘ）
dI(x)/dx= - Iκ+ε
dI(x)/κdx = - I+ε/κ
κdx＝ dτ
τ ＝ Optical Depth (光学的深さ)
ε/κ＝Ｓ
Ｓ＝Source Function (源泉関数) で、τとＳを定義すると、
dI ( )
  I ( )  S ( )
d
dI ( )
 I ( )  S ( )
d
輻射の基礎方程式
Equation of radiative transfer
上式では、簡単のため表示方式を指定していない。実際は周波数表示、波長表
示、総エネルギー表示の式を一括して書いてあるので注意がいる。
具体的には下の３式をまとめて書いたのが前頁の式である。
dI ( )
dI  (  )
dI ( )
 I ( )  S ( ),
 I ( )  S ( ),
 I  (  )  S  (  )
d
d
d 
最初の総輻射強度に対する式で、τをどう定義するかは後で議論する。
吸収係数と見通し距離
大体τλ＝１までを見通せると考えると、κλ大の波長で浅い場所からの光を、
κλ小では深い場所からの光が見える。
Ｘ
κ(λ)
τ＝２
τ＝１
λ
λ１
λ２
τ＝０
λ
λ１
λ２
観測者
４．２．Source Function (源泉関数) ： S
源泉関数Ｓはどう表せるのか？
０
局所熱平衡の仮定：
各点での吸収係数κや放射係数εが温度Ｔと密度ρ
（ＬＴＥ）
で決定される。
ε(x)＝ εν (ρ,T)、κ＝ κν (ρ,T)
Ｓν (τν) =εν (τν) /κν (τν) ＝Ｓν (ρ,T)
すると、
1
Ｔ＝Ｔ（ｘ）：（Ｔが場所によって変わる）
Ⅰはｄｘの間に、ΔＩ＝－[Iν (x)－Ｓν (ρ,T)] dτν の変化を受ける。
I(x+dx) =I(x)- I(x)κ (ρ,T) dx＋ε(ρ,T) ｄｘ
I(x)
＝ I(x) －[I(x)－Ｓ (ρ,T)] dτ
(ρ,T)
他のところでは温度は必ずしもＴではない。
2 その他の点でも温度が一様
すると、
にＴになった状況を考えて
Ⅰν (ｘ)はどこでも、Ⅰν ＝Ｂ(T,ν)
みる。
Ｓν (ｘ)は前と同じ、Ｓν＝Ｓν (ρ,T)
I(x+dx)=Ｂ(T,ν)－[Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)]dτλ
I(x)=Ｂ(T,ν)
I (x)＝I (x+dx)= Ｂ(T,ν) なので
つまり
Ｂ(T,ν)－Ｓν (ρ,T)＝０
熱平衡状態では
ところが、Ｓν (ρ,T) は系全体が熱平衡か
Ｓν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν)
どうかには関係なく、そこがＬＴＥであれば
そこの(ρ,T) から決まるので、
一般にＳν (ρ,T)＝Ｂ(T,ν) が成立する。
dIλ(τλ)/dτλ+Iλ (τλ)=Ｂ
あλ[Ｔ(τλ)]
か
：
LTEの輻射の方程式
４．３．簡単な解
（i） ελ（ｘ）＝０：途中の物質がとても冷たい。ｘ＝０に光源Iλ０がある。
光源
吸収体
Iλ (x=0)
Iλ(x)
ｘ
ｘ＝０
ελ＝０つまり、Sλ＝０なので、輻射の方程式は下のように書ける。
dI  ( x)
   I  ( x)
dx
I  ( x  0)  I 0
 I  x   I 0 e 
   dx
または
 I 0e   ( x )
dI  (  )
  I  (  )
d 
I  (   0)  I 0
入射光
吸収体
κ
５
τ
０
Ｉ / Ｉo
0
τ
出射光
下のグラフは、1995 ApJ 450, 74-89 Forster, Rich and McCarthy
活動銀河Ｍｒｋ２３１のスペクトルである。
による、
この銀河は中心に高温の活動銀河核を持ち、そこからの連続（滑らかな）スペクトル
が銀河内星間ガスにより吸収を受けている。
Ｍｒｋ２３１
活動核
連続光
星間ガス
１
吸収を受けた光
０.５
０
５９７０Ａ
５９８０Ａ
λ
５９９０Ａ
波長５９８０Ａ（＝０．５９８μ
ｍ）の吸収線はＭｒｋ２３１星
間ガス中のＮａ原子によるも
ので、Ｄ線と呼ばれる。
吸収線の深さからＭａｒ２３１銀河内のＮａ原子のコラム密度Nを求めよう。
I
 exp(  )  exp(  N )
吸収の強さ＝
I0
の関係が使えそうである
そのためには、D線中央部でのNa原子吸収断面積σが欲しい。
Ｄ線中央の吸収断面積はσ＝(２.２×１０－２３ /D ) cm2 で与えられる。ここにDは吸
収線の幅をA（オングストローム）で表した値である。グラフから読み取るとＤ≒１．８
Ａである。σ＝１．２２×１０－２３ cm2 である。
銀河ではDは星間ガスの運動によるNa原子の視線速度のばらつきを表わす。
実験室ではDはNaガスの温度に対応し、Ｄ＝１．１×１０－３ √Ｔ（Ａ）である。
グラフから読み取るとＤ≒１．８Ａである。ガス温度と考えるとＴ＝１．６４×１０６
Kとなるが、星間ナトリウムがそんなに高い温度で中性原子でいるわけはない。
ガス運動速度のばらつきVと考えると、V/c=1.8A/5980A, V=90km/sec となる。
吸収線中央では ( Ｉ / Ｉｏ ) = eｘｐ（ーτ）＝０．５  τ＝０．７
Ｎａ原子のコラム密度をＮ（ｃｍ－２）とすると、 τ＝Ｎσ であった。
したがって、Ｎ＝０．７/ （１．２２×１０－２３）＝５．８×１０２２ /ｃｍ２
この値は、詳しいラインフィットの手法で求めたＮａコラム密度とファクター
２程度しか違わない。
簡単な解（ii） I(x=0) = 0 （天体の向こう側からは光が来ない。Sλ(τλ)＝一定）
I(x,λ)
I=0
S(τλ)＝一定
ｘ
x=0
dI  (  )
0
 I  (  )  S  (  )  S  ,　d 
この式の解は、
I  (   0)  0

I  (  )   S (t ) e(  t ) dt
0
上の仮定のように
0  
I  (  )  S e
S (  )  S


0
0
＝一定の場合は、



et dt  S0e  e   1  S0 1  e 

右のグラフから分かるように、
I  (  )     S
(   1)
I  (  )  S
(   1)
0
0

I  (  )  S 0 1  e  

I
S 0 
ＬＴＥが成立 [つまりS(τλ)=Bλ(T) ]
の場合には上の式のSをBに置き換えて
I  (  )     B (T )
(   1)
I  (  )  B (T )
(   1)
０
１

２
３
輝度温度（brightness temperature） Tb
Ⅰ（ν）＝Ｂ（Ｔｂ， ν ）
：Ｔｂの定義
例えば、 Tｃ=100Kの星間雲を1.42GHｚ（λ＝21cｍ）で観測する場
合、 x=hν/kTc ＝1.44 / 210,000 / 0.0１=0.0007<<1なので
2kTC 2
2h 3
1

Reyleigh-Jeans 近似が成立し、B( , TC )  2
c
c2
 h 
  1
exp 
 kTC 
光学的深さがτ＜＜１のこの星間雲を観測して、輻射強度I （ν）を得た。す
ると、光学的に薄くかつレーリージーンズ近似が適用されるので、
2k TC 2
I ( )   B( , TC ) 
c2
この輻射強度Iνをレーリー近似を仮定して輝度温度Tbを使って表すと、
2k TC 2 2kTb 2
I ( ) 

2
c
c2
となるので、
Ｔb=τνTc
簡単な解（iii） I(x=0) =Io(λ)
Sλ (x)＝Bλ(T)
Io(λ)
光源
光源と途中の吸収・輻射帯の両方
I(λ)
途中の吸収・放射帯
簡単な
I(x,λ) = Io(λ) exp ( －∫κ(λ)ρ(x)dx ) = Io(λ) exp [－τλ ]
I(x,λ) =∫S(t) exp{－ (τλ－t)} dt
をあわせて、
I (λ) = Io(λ) exp[－τ(x,λ)]＋∫S(τ1λ)exp{－ (τλ－τ1λ)} dτ1λ
= Io(λ) exp[－τλ] + Bλ(T)[1－exp(－τλ)]
τλ ＜＜１の場合には、
Ｉ(λ) ＝Io(λ)（１－τλ）+ Bλ(T)τλ
＝ Io(λ) + [Bλ(T) － Io(λ) ]τλ
解(i)
解(ii)
例：ＣａＩＩのＫ線の中心部に現れる彩層(chromosphere)輝線
Teff
Tchrom（高温）
スペクトル
恒星大気
彩層
Teff
Teff
6,400
30,000
6,250
9,800
7,300
5,950
４．４．線形大気
全ての物理量ＡがＸ軸に垂直な平面内で一定と仮定する。Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝Ａ（Ｘ）
（１）ーＸ軸方向（上向き）の輻射強度Ｉに対する方程式は、ｄＩ/ｄｘ＝κＩ－ε
（２）Ｘ軸に角度θを成す直線(μ＝cosθ)に沿って、輻射方程式を考える。
Iλ (μ,τλ=0)
τλ＝０
Ｙ
Ｚ
Ｘ
τλ
ｔ
θ
Iλ (μ,τλ)
直線に沿っての長さをｔとすると、ｄＩ/ｄｔ＝ κＩ－εｄｌとなる。
ｄｔとＸ軸に沿っての深さｄＸとの関係は、ｄt＝ｄｘ／μ なので、書き直して
μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x)
形式解
μdI(μ,x)/dx＝I(μ,x)κ(x)－ε(x) ：以下Ｉλ 、 κλ等をＩ、κと省略する
ｄτ＝κｄＸとおいて、
μdI / dτ＝I－S
dτは光線に沿っての光学的深さでなく、Ｘ軸に沿っての光学的深さ、に注意。
光学的深さ＝τの点で、Ｘ軸に対し角度θの輻射 I(τ,μ) は下のように
与えられる。
ｔ＝０
μ>0：
I(τ,μ)=∫∞τS(t)exp[－(t－τ)/μ]dt/μ
=
eτ/μ∫∞
τ
μ>0
S(t,λ)e－t/μdt/μ
μ<0：I(τ,μ)= －∫τ0S(t,λ)exp[ (τ－t)/μ]dt/μ
=
－eτ/μ∫τ
0
S(t,λ)
e－t/μdt
/μ
τ
=∫τ0 S(t,λ) e－(τ－t) / (－μ) dt / (－μ)
ｔ
μ<0
表面からの輻射強度
表面から角度θで出る輻射Ｉの解は下のように与えられる。
I(τ=0 、μ) = (1/μ)∫∞0 S(τ) exp(－τ/μ) dτ
上式を見るとＳをSource Function と呼ぶことが納得される。
S(τλ)＝Ｓ＝一定（０<τ<τo）のスラブ表面でのＩ(τ=0 , μ) を計算すると、
I(τ=0 , μ) = (1/μ)∫τo0S exp( -τ/μ) dτ
＝ S[1－exp (－τo /μ) ]
自己吸収のあるスラブの表面輝度
τｏ＝0.1
τｏ＝0.5
τｏ＝1
τｏ＝2
1
θ
0.8
0.6
Ⅰ/Ｓ
I(τ=0 , μ)
0.4
0.2
τo
S(τ）
0
0
30
θ（° ）
60
90
線形解のフラックス
S(τ)= a + bτ
I(τ=0 ,μ>0) = (1/μ)∫∞0S(t)exp( ‐t/μ) dt
＝(1/μ)∫∞0(ａ＋ｂt)exp( ‐t/μ) dt
＝ (1/μ)[ a∫∞0 exp(‐t /μ) dt + b∫∞0 t exp(‐t /μ) dt]
＝ a+ bμ= S(τ=μ)
I(τ=0 ,μ<0) = 0
（μ＞０）
（μ＜０）
θ
下図で光線に沿ったτ＝１に注意
τ＝０
τ＝μ＝ｃｏｓθ
τ＝１
Ｆλ＝∫μIλ(μ,τ=0)ｄΩ＝ 2π∫１0μ( aλ+ bλμ)dμ=２π(aλ/2 +bλ/3)
Source Function
Sλ (τ)=aλ+bλτ だったから、
Ｆλ＝π[aλ+(2/3)bλ]=πSλ(τ=2/3) である。
温度Ｔの黒体表面からのフラックスがπＢλ(T),ここにＢλ(Ｔ)は輻射強度、
だったことを考えると、線形大気では、τλ＝２/３の深さの所を見て
いると言える。
Ｉ（τ＝０）
τλ＝０
ａ
τλ＝μ＝ｃｏｓθ
S(τ＝２/３)
τλ＝１
S
０
1/３
２/３
１
ａ＋ｂ
ａ＋ｂμ
問題４２００５年１１月１４日
提出４Aまたは４B １１月２１日
４A 温度T=３０K、波長λ＝１００μｍでの光学的深さτ１００＝１の星間雲がある。
星間雲物質の吸収係数はκ（λ）＝κ（１００μｍ）・（１００μｍ/λ）２で表される。
この星間雲のλ＝１ｍｍと１ｃｍにおける輝度温度Tb（１ｍｍ）、Tb（１ｃｍ）を
求めよ。
４B 太陽の光度はLo=４×１０２６ W、半径Ro=７×１０８ｍである。太陽の周り
半径Rｐｃの空間に太陽と同じ半径と明るさを持つ星がｎ＝１０－２星/ｐｃ３の
数密度で一様に分布しているとする。
これらの星による星明りの総輻射強度I（W/ｍ２/Steradian)は地上ではいく
らになるか？星間物質、地球大気による吸収は考えない。
また、結果を縦軸logI, 横軸logRのグラフで表せ。
R∞のとき、星明りの地球表面でのフラックスが太陽表面のそれと同じに
なることを示し、その物理的な理由を考えよ。

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