物理学（電磁気学）

第５回ガウスの法則（その２）

電荷qの荷電粒子を中心とする, 半径rの球面上に
おける電場の大きさ：
q
r

•
•
球面上の任意の点において
電場の大きさは等しい
電場の向きは球面に対して垂直


•

球面上の電気力線の総数を数えてみよう
球面上の任意の点において,
電気力線は球面に対して垂直なので
（∵ ある点での, 電気力線の向き＝電場の向き）
電気力線は単位面積あたりE本ある

球面上の全ての電気力線を足し合わせる
球面上の電気力線の総数
=（単位面積あたりの電気力線の本数×球の表面積）
=
（本）

ガウスの法則（ ver.1.0 ）：
「球面上の電気力線の総数は,
球面内部の電荷qの1/ ε0 倍に等しい」
・球の半径rの値に依存しない
⇒ 途中で電気力線の本数を増やしたり, 減らしたりする
必要はない
・この法則は電場Eが1/r2に比例していることが要因


•
•
任意の閉曲面を出入りする電気力線の本数を考える
ルール
閉曲面を出る矢印：正
閉曲面に入る矢印：負
内部に電荷qを含む閉曲面
：q/ε0 本
•
内部に電荷qを含まない閉曲面
： 0 本
•
q

電荷qの荷電粒子を内部にもつ任意の閉曲面上に
おける電場の大きさ：
q
r

•
•
閉曲面上の任意の点において
電場の大きさはrに依存する
電場の向きは閉曲面に対して垂直とは限らない


•

閉曲面上の電気力線の総数を数えてみよう
閉曲面上の任意の点において,
電気力線は球面に対して垂直とは限らない
（∵ ある点での, 電気力線の向き＝電場の向き）
電気力線の閉曲面に対して垂直な成分だけを取り出
す必要がある

M
電気力線の閉曲面に垂直な成分の取り出し方


•


球面上の電気力線の総数を数えてみよう
球面上の任意の点において,
電気力線は球面に対して垂直とは限らない
（∵ ある点での, 電気力線の向き＝電場の向き）
電気力線の閉曲面に対して垂直な成分だけを取り出
す必要がある
電気力線は単位面積あたりEcosθ本ある
全ての電気力線を足し合わせる.

任意の閉曲面上における電気力線の足し合わせ方
閉曲面を微小な面積dSに
分割する
 それぞれの微小面積ごとに
Ecosθを計算する
 全ての閉曲面について
Ecosθを足し合わせる
（面積分する）

q
r
全ての電気力線を足し合わせる.
単位面積あたりの電気力線の本数の面積分は:
ver.1.5の議論より,
；q が閉曲面の中にあるとき
；q が閉曲面の外にあるとき

ガウスの法則（ ver.2.0 ）：
「任意の閉曲面上の電気力線の総数は,
閉曲面内部の電荷qの1/ ε0 倍に等しい」
・任意の閉曲面上の電気力線の総数は,
 閉曲面の形状に依存しない
 閉曲面内部の電荷のみに依存

電荷qの荷電粒子を中心とする, 半径rの球面上に
おける電場の大きさ：
q
r
⇒


複数の電荷q1 , q2を内部にもつ任意の閉曲面上にお
ける電場の大きさ：
重ね合わせの原理より
q2
q1
全ての電気力線を足し合わせる.
単位面積あたりの電気力線の本数の面積分は:
；q1, q2 が閉曲面の中にあるとき
複数の電荷qi を内部にもつ任意の閉曲面では
ただし,
電荷の和は閉曲面の中にある電荷についてのみとる.

ガウスの法則（ ver.3.0 ）：
「任意の閉曲面上の電気力線の総数は,
閉曲面内部の電荷qの総和の1/ ε0 倍に等しい」
・任意の閉曲面上の電気力線の総数は,
 閉曲面の形状に依存しない
 閉曲面内部の電荷の総数のみに依存

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