綿村哲

Deformation, Diffeomorphism
and Nonanticommutative
Superspace
KEK Theory Workshop 2006,
KEK 13-16 March
Satoshi Watamura
Tohoku University
15 March 2006
Introduction
なぜ，このような問題を考えるに至ったか．
（論文の宣伝もかねて）
問題と結果
1. Generarize ADHM condition to superspace SADHM構成
2. Obtain the solutions without redundant field by superfield formalism.
W-Z gauge.[ T.Takashima, T. Araki, S.W. hep-th/0506112]
3. Deform above constructions and formulate the deformed SADHM
construction. [T.Takashima,T.Araki,S.W. hepth/0510088]
手法
Use p-forms on Superspace.
Deform the differential algebra of the forms.
ASD 条件の見通しがよくなる．
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Deformed superspace

star product

Commutator in chiral basis

Chirality is respected

Chiral superfield:
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In the chiral coordinate,
the algebra of the super charge is
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Differential calculus on Superspace

Coordinate:

p-form:

product:

Derivative:

Graded Leipnitz rule and
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Covariant basis of differential

covariant basis of forms:
Let connection 1-form of vector bundle:

Curvature:

さらに

と続くが，今日の議論では必要ない
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Differential calculus must be consistent with
component result from string theory
これとconsistentな微分代数は？
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Differential Algebra on Non(anti)commutative
superspace
The correct differential algebra consistent with string:
はLie derivative.
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[ATW2 hepth/0510088]
Consistency of Diff. Alg.

Associative: since star product is.

Leibniz rule: since

since
is constant
Nilpotency: since d is not deformed
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まとめ


The new Moyal product
The product is defined by the transformation，
or equivalently, Lie derivative
Usual bosonic Moyal product can be also
interpreted by the translation.
we get standard differential calculus.
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この方法は，Diffeomorphismの問題に関するWess
たちのProposalと関係がつく．
Problem:
Diffeomorphism in Noncommutative space
(and superspace)とは？
Algebra Automorphism として定義
Formal, 物理的座標変換との関係は？
計量テンソルなどとは関係なく定義できてしまう
最終的には正しいがもう少し具体的な定義が
欲しい
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非可換空間の定義として
Deformation Quantization
Non(anti)commutative Deformation of (super)space
Algebra of (super)fields,
Moyal type star product
It can genarate some interesting examples of
noncommutative space
Deformed Diffeomorphism?
Proposal based on the twisted Hopf algebra
Ref: Aschieri et al. hep-th/0510059
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Twisted Hopf Algebra
Hopf 代数の積・余積などを変形したもの
（Hopf 代数ではある）
Hopf 代数：
１．群上の関数の作る代数
２．Lie環の普遍包絡環
３．すべての量子群または量子普遍包絡環
例えば
はリー環
から得られる：
彼らのプロポーザル：まずDiffeoをホップ代数として捉える
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リー環とホップ代数
リー環は，交換子の定義された代数：
通常ある種の対称性の無限小変換の生成元なので，変換され
る場を考えることができる．
すると，変換の積を定義することができるので代数ができる
このようにしていわゆる普遍包絡環を得る．
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場の積に関する変換は
となる．これは単に無限小変換のライプニッツ則を書いただけだ
がこれを次のように書く
となる．ただし，ここで
は余積（coproduct）と呼ばれる．変換の性質から
また逆元があることからantipode を
さらに，単位元に対応してcounit を
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をホップ代数という．
coproduct や antipodeはある種の関係を満たす. 例えば
ここまで，一般論をしてきたが，ここでリー環としてベクトル場の作るリー環
の包絡環
を考えると無限小座標変換の作るホップ代数が得られ
る．これを非可換幾何学におけるDiffeoの代数的定義とする．
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Deformation Quantization と Drinfeld Twist
変形量子化をホップ代数のtwistとして捉えられることはすでに知られている．
ホップ代数のTwistとは
を使って新しいcoproduct
を定義する．
結果として
ただし，
がホップ代数になる．
は次のcocycle 条件を満たす．
このとき，ホップ代数の作用がtwistされたライプニッツ則に従うことを要請すること
によって，変形量子化が定義できる．
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module algebraであることの要請
これを満たす積は
通常のMoyal積による量子化では
一般には，
このようにして，あるホップ代数のmodule algebra
の変形量子化を，
twist されたホップ代数のmodule algebra
として特徴付けることができる．
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Diffeomorphism Diff＊
は，
自身にadjoint actionで作用できる．よって
module algebra
と思える．
そこで，twist したホップ代数
のmodule algebraを定義する：
このとき，
はホップ代数になることがわかり，
module になる．特に，このホップ代数は生成元
がその
について
これは，ライプニッツ則が通常の微分の変形のように見えることをあらわし
ている．
そこで，ホップ代数
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を
と考える
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が定まれば，一般のテンソルはその作用に関してCovariant
module algebra になる．
交換関係は
ただし
はR-matrix で
同様に p-formの積も
triangular
これは，SADHMの構成の時に現れた定義そのものである．
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Discussion




stringとconsistentになるような Deformed SADHMの
構成の時に定義した微分代数は，twisted Hopf
algebra をDiff*とし，共変性を要請したものである．
一般に，非可換の微分代数をDiff*に対する共変性から
決定できる．
Diff*の定義はどこまで一般性があるのか？
Riemann曲率
やtorsion
などが定義で
きるが，微分代数が定義されていないので
が定義されていない．
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