第11回・モンテカルロ法

統計解析
第１１回
本日
・乱数を検証する
・モンテカルロ法でπを求める
乱数と数数
数整数，実数，有理数，無理数
円周率，・・・
･･･,-3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, ･･･
0.001, 0.1, 0.2, 1.0, 100.0,･･･
1.41421356･･･
3.141592653589793･･･
分かるかな？
２，４，６，□，１０，１２，･･･
1, 10, 100, 1000, □, 100000, ･･･
１，□，４，６，１０，１２，･･･
これらはある規則で並んでいる
乱数とは
乱数：なんの脈絡もない数の並び
規則性なし，
周期性なし
但し，整数，実数，等であっても良い
ルーレットで出る数字の並び
サイコロを振って出る目の数の並び
など・・
乱数の発生法
・サイコロ，ルーレット等を利用
・プログラム
・エクセルなどを使用
RAND関数を用いて
=RAND()
と指定する
実は・・・
乱数：完全な乱数は得られていない？
コンピュータ，エクセルなど
計算で求められている
非常に周期の長い数の並び
疑似乱数
実際の乱数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.397
0.069
0.886
0.145
0.783
0.847
0.921
0.824
0.107
0.822
2
0.857
0.176
0.510
0.224
0.739
0.522
0.755
0.353
0.533
0.251
参考資料【１００個の乱数（０から１までの実数）】
3
4
5
6
7
0.475
0.046
0.046
0.626
0.054
0.446
0.243
0.716
0.025
0.528
0.203
0.093
0.015
0.745
0.339
0.840
0.464
0.508
0.307
0.731
0.060
0.239
0.014
0.158
0.141
0.182
0.616
0.885
0.948
0.288
0.075
0.896
0.786
0.488
0.179
0.457
0.937
0.188
0.466
0.420
0.987
0.904
0.184
0.796
0.332
0.837
0.574
0.634
0.423
0.922
8
0.640
0.527
0.171
0.960
0.609
0.173
0.232
0.530
0.676
0.369
9
0.480
0.379
0.609
0.869
0.534
0.105
0.809
0.667
0.445
0.643
10
0.856
0.932
0.391
0.959
0.737
0.069
0.112
0.506
0.261
0.847
※MS-EXCELによって作られた
乱数の発生と検証
・０〜１までの乱数の平均は？
0.5ですね。
・０〜１までの乱数の標準偏差は？
0.25ですね。
課題１
１．１列目において，１〜１０の範囲の
整数の乱数を１０００個作れ
２．次の統計量を求めよ
(1) 平均値
(2) 標準偏差
(3) 0.5以上，未満の個数
円周率：π
円
円周の長さ＝２πｒ
半径：ｒ
円の面積＝πｒ2
準備
１．針（と言っても仮想的なもの）
２．半径１の円
ｒ＝１
思考実験
円に針を落とす
・円内に刺さる
・円外に刺さる
思考実験つづき
ｙ
１
・
・
・
・
・
・
１
・
・
・
・
ｘ
針の本数が沢山になると
長さ２
針がまんべんなく
刺さる
円の面積／■の面積
＝円内の本数／ ■内の本数
数式で表せば
長さ２
円内の本数：ｎ
■内の本数：Ｎ
r
2
2
2
n

N
4n
4n
  2 
r N N
！針の本数の比を出して，４倍すればよい！
Monte Carlo Simulation
y
第１象限だけで考える
1   r2  1  n
4 22
4 N
4n
 
N
x
Monte Carlo Simulation
y
では針を落とそう！？
針が刺さった場所は，
(x,y) 座標上である
さらに，
0 x 1
x
0 y 1
Monte Carlo Simulation
x,y 座標に乱数を使えばよい！
y
例えば
x 座標を奇数列
y 座標を偶数列
例えば，
x
(x,y) (0.966,0.402)
Monte Carlo Simulation
ではシミュレーション
円の内と外の見分け方
y
１
・
・
・１
・
円の半径はｒ＝１
・
円周上は全て原点から１
原点から各針の距離は
・
１
x
x y
2
2
Monte Carlo Simulation
円の内と外の見分け方
y
１
x  y  1 ならば円の中
2
・
・
・１
・
2
2
2
x  y  1 ならば円の外
・
例，９列，１０列目では，
・
0.152  0.427  0.205  1
x
∴円の中！･･･カウント１
2
１
2
課題２
モンテカルロシミュレーションにより
円周率πを求めよ。
但し，乱数は２０００個発生のこと
但し，乱数は次の通り
１列目の乱数をｘ座標，
２列目の乱数をｙ座標

Download Report