半正定値計画問題（SDP)の工学的応用について SDPの応用分野及び研究 • • • • • 確率的交通計画(MIT) 旅客機の機体設計(米, ボーイング社) 建築物構造最適化（京大) データマイニング(京大, IBM 基礎研他) その他（制御分野、量子物理化学など）半正定値計画法を用いた 1次固有振動数制約での最適設計 • 制約：トラスの全ての固有振動数が指定値以上。 • 目的：全部材体積を最小化する。 • 設計変数：部材断面積を求める。固有値制約下でのトラスの最小重量設計 • 地盤（地震動）との共振を避ける。 • 風荷重による振動を避ける。 • 動的な剛性の指標固有値制約での最適設計の実験例対称な構造物では対称な解が得られる m  174, n  106  174 固有値制約での最適設計の実験例トポロジー最適化の手法固有値制約下でのトラスの最小重量設計 m min  AiLi i 1 m s.t. X   AiFi  F 0 第 i 部材非構造質量 Ai (Ki  Mi )  Ai Fi M 0  F 0 i 1 Ai  0, X  O Ai：第 i部材の断面積 Li：第 i部材の長さ Ki：第 i部材の剛性行列 Mi：第 i部材の質量行列 Li 固有値制約での最適設計の実験例 2層平板トラス m  128, n  111  128 線形座屈係数制約での最適設計の実験例円筒形トラス m  792, n  645  792 線形座屈係数制約での最適設計の実験例円筒形トラス m  792, n  645  792 問題の難しさ • 最適解において、最小の固有値がしばしば重複することが知られている。 • 従来の方法では、設計変数に対する固有値の感度係数を求める必要がある。 • 最小固有値が重複する場合には感度係数が不連続になるため、特に重複度が大きい場合は、従来の方法では解くことは極めて難しい。 SDP を用いる利点 • 固有値が重複する場合でも容易に解くことができる。 • 従来の方法より、解法の取り扱いが簡単。 • 計算時間が短く、より大規模な問題を扱うことが可能。 • SDP の等式標準形で書ける条件であれば，制約条件の付加が容易である。問題の特殊構造 • 疎な問題に属する。 • 不等式制約条件（部材の断面積の下限）を持つ。 • SDPA の数値実験の題材としても適している。結論 • 指定1次固有値を有するトラスの最適設計問題をSDP の形に定式化し、SDPA を用いて解いた。 • 最適解で1次固有値が重複する場合も問題なく解くことができるので、大規模な問題も解くことが可能である。 • 構造物が対称な場合には、対称解に収束する。 • 最適性必要十分条件の導出と、既往の必要条件との比較。今後の課題 • 骨組構造の1次固有値制約下での最適化への拡張。 • 座屈荷重係数を指定したトラスの最適設計への応用。 • 実用的な最適トポロジーを求める際の、組み合わせ的手法の考慮。 1次固有値制約下での骨組の最小重量設計 m min  AmiLi mini 1  AiLi m i 1 第 i 部材 Ai2Gi  Ai (Ki  Mi )  Ai2Gi  Ai Fi s.t. X m 2AiFi mF 0 s.t. X  i A 1 i Gi   AiFi  F 0 i 1 i 1 Ai  0, X  O Ai  0, X  O Ai：第 i部材の断面積 Li：第 i部材の長さ Ki：第 i部材の剛性行列（伸び） Mi：第 i部材の質量行列 Gi：第 i部材の剛性行列（曲げ） Li 非構造質量 M 0  F 0