講義資料

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今日の予定
量子論 Quantum Theory
・ Planckの放射式
・ Stefan-Boltzmann
の法則
・光電効果における古典論の破綻
・ Compton効果
Text pp.7-10
・ Wienの変位則
・熱容量における古典論の破綻
・ Einsteinの光量子説
2015年度第３週
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Wienの変位則(1)
n=
dn = -
c
l
c
l
2
dl
2015年度第３週
Text なし
n=
c
c
dn = -
l
Planck
dl
l
3
8
p
V
h
n
Quantum Theory
fP (n , T ) dn =
量子論
2015年度第３週
2
hn kBT
プランクの放射式
dn
振動数
c e
-1
3
3
8p V h c l æ c
ö
= 3 hc kBT l
çè - 2 dl ÷ø
c e
-1 l
変数変換
8p Vhc
1
=dl
5
hc kBT l
l e
-1
º - fP ( l, T ) dl
波長
3
fP ( l, T ) dl =
8p Vhc
l
5
1
e
hc kBT l
-1
dl
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Wienの変位則(2)
2015年度第３週
Text なし
Wienの変位則
放射強度が最大となる電磁波
の波長 λmax と、絶対温度T と
の積は一定となる。
λmax T = const.
λmaxは温度上昇とともに、
短波長側にシフト（変位）
していく。
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2015年度第３週
Planckの放射式からWienの変位則を導出
dfP ( l, T )
Text なし
=
0
放射のエネルギーが極大
dl
dfP ( l, T ) d æ 8p Vhc
ö
1
=
ç
÷
5
hc kBT l
dl
dl è l
e
-1 ø
é
ù
-5
æ
ö
1
-l
hc hc kBT l ú
-6
ê
= 8p Vhc -5l hc kBT l
+
e
ç
÷
2
2
hc
k
T
l
ê
ú
e
-1 ( e B -1) è kBT l
ø
ë
û
8p Vhcl -6 é
hc e hc kBT l ù
= hc kBT l
ê-5 +
ú= 0
hc kBT l
e
-1 ë
kBT l e
-1û
1つの解は λ = 0 →極小
[ ]内が0となるλを考える。
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hc
ºx
kBT l
ex
5
=
x
e -1 x
y
y=e
-x
x
xe
-5 + x
=0
e -1
ex - 1 x
=
x
e
5
x ¹ 0 の場合を考える
1- e
-x
x
=
5
e
-x
x
= 15
xmaxが存在することが図から分かる
hc
xmax =
kBT lmax
x = 0での傾き：-1
x
1 y = 15
0
2015年度第３週
hc
lmaxT =
= const.
kB xmax
傾き：-1 / 5
5
xmax
x
4.9651
(数値計算)
2.8979 × 10-3 m・K
2015年度第３週
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Stefan-Boltzmannの法則
Text なし
Stefan-Boltzmannの法則
全放射エネルギーEは
絶対温度Tの４乗に比例する。
E = sT
4
左図で2000 Kの曲線の下の
面積は、1000 Kのそれの
16倍である。
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Planckの放射式から
Stefan-Boltzmannの法則を導出
2015年度
第３週
Text なし
E=
ò
¥
0
fP (n , T ) dn =
ò
¥
0
8p V hn
dn
3
hn kBT
c e
-1
3
hn
ºx
kBT
8p Vh ¥ n
8p Vh ¥ ( kBTx h ) kBT
= 3 ò hn kBT
dn = 3 ò
dx
x
0 e
0
c
-1
c
e -1
h
3
3
8p VkB4T 4
=
3 3
ch
ò
公式
¥
0
x3
8p 5VkB 4 4
4
dx
=
T
º
s
T
x
3 3
e -1
15c h
=
p4
15
（リーマンのゼータ関数から導出される）
2015年度第３週
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熱容量における古典論の破綻(1)
Text なし
黒体放射：熱エネルギーが電磁波を励起
熱容量：熱エネルギーが格子振動を励起
結晶
格子振動
（各格子点が熱振動）
温度上昇
2015年度第３週
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熱容量における古典論の破綻(2)
Text なし
エネルギー等分配則
運動エネルギー
１自由度当たり
1
kBT 合計
1
2
2
k
T
B
k
T
p
1 2
2
B
1
E=
+ kx
kBT
2m 2
2
一次元
調和振動子
ポテンシャル
エネルギー
三次元
では
3kBT
2015年度第３週
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熱容量における古典論の破綻(3)
Text なし
格子点の
１原子当たり
3kBT
1 molでは
気体定数
E = 3N 0 kBT = 3RT
アボガドロ定数
ボルツマン定数
温度T において、3RT のエネルギーを持つ
格子振動が励起される
古典論の
帰結
( )
¶E
= 3R = const.
熱容量（比熱）は Cv =
¶T v
温度に関係なく一定値：Dulong-Petitの法則
2015年度第３週
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熱容量における古典論の破綻(4)
Text なし
Cv
実験事実はどうか？
3R
0
室温では、たしかに
Cv = 3R
しかし、
T ® 0 Þ Cv ® 0
古典論の破綻
T
EinsteinがPlanckと同じようにして、振動のエネルギーが
hν の整数倍に限られるとして説明：Einsteinの比熱式
定性的な説明に成功
（通常の物質では、Debyeの比熱式の方がよく合う）
2015年度第３週
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光電効果における古典論の破綻
Text p.8
光電効果
物質（金属）に光 → 表面から電子が飛び出す現象
実験事実
i) ν > ν0 でなければ、電子は飛び出さない。
ii) 飛び出す電子の運動エネルギーの最大値は
ν のみで決まる。
iii) 飛び出す電子数は光の強さに比例する。
電磁波である光の振幅（強度）を大きくすれば、電子が飛び
出してもよさそうであるが、そうはならない。→古典論の破綻
2015年度第３週
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Einsteinの光量子説 -光電効果の解釈Text pp.7-9
E=hν - W=h(ν - ν0)
(W=hν0)
W：仕事関数 1
2
mv
2
Albert
E
hν0
ν < ν0 ν = ν0 ν > ν0
Einstein
Wより大きなエネルギーを持った粒子のようなものと衝突し、
そのエネルギーを得る、と考えれば説明がつく。
光は、hνのエネルギーを持つ粒子（光量子 or 光子）の集まり
Einsteinの光量子説
1921年ノーベル賞
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光電効果 -具体例の計算-
2015年度第３週
Text なし
Al（アルミニウム）
-19
1.6 ´ 10
W = 4.28 eV = 4.28 eV ´
1 eV
J
= 6.85 ´ 10 -19 J
-19
6.85 ´ 10 J
W
15 -1
n0 = =
= 1.03 ´ 10 s
-34
h 6.63 ´ 10 J × s
8
-1
3.00
´
10
m
×
s
c
-7
l0 = =
= 2.91 ´ 10 m = 291 nm
15 -1
n0
1.03 ´ 10 s
紫外線
可視光線：380〜780 nm
紫
赤
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Compton効果
2015年度第３週
Text pp.9-10
入射X線の振動数：ν
X線の電子による散乱
散乱X線の振動数：ν ’
ν’ = ν ：Thomson散乱
ν’ < ν ：Compton散乱
散乱X線（光子）
入射X線（光子）
E=hν , p=hν / c
hν’, hν’/ c
φ
θ
ε, p
反跳電子
Arthur
Compton
弾性衝突
の問題
教科書：p.10
(配布プリント参照）
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m=
相対論
m0
静止質量
v
1-
c
p = mv =
E = mc =
Text p.10
小出昭一郎
「物理学(三訂版）」
９章（特にp.320〜）を参照
2
2
m0v
2
v
1-
これを使う
c
2
m0 c
2
2
2015年度第３週
2
v
1-
c2
これを使う

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