広域副専攻・数学 知能情報学部 松本茂樹 この写真の中央の細長いものは何? ピーター・アトキンス著(早川書房) Galileo Galilei 自然という書物は 数学の言葉で書かれている http://www.wolframalpha.com/ 「自然という書物は数学の言葉で書かれている」 (Galileo Galilei) 「万物は数である」 (ピタゴラス) 「虚数が無ければ核兵器も生まれなかった」 「数学の限界が世界の限界である」 John von Neumann (1903-1957) 複素数 二進数 量子力学 デジタル化 ピタゴラス(B.C.582-B.C.497) • サモス島に生まれ、ターレスの教えを受け る。南イタリアのクロトンで学校を開き、学 者を養成した。「万物は数である」という教 義を掲げ、ピタゴラス教団という結社を作っ たという云い方もされる。 ピタゴラス(B.C.582-B.C.497) • ピタゴラスの生涯は半ば伝説のベールに 覆われているが、自然(森羅万象)は数や 数関係によって説明される、すなわち、「数 は実在の本質である」、というピタゴラス学 派の精神は、プラトンによって哲学的基盤 を与えられ、西洋科学思想の根底に決定 的な影響を与えた。「五つの正多面体(プ ラトンの図形)」と「六つの惑星の軌道」の 結び付きを論じたヨハネス・ケプラーの宇 宙論は有名。 ピタゴラス学派の四つのマテーマタ •離散と連続 相対的離散と絶対的離散 動的連続と静的連続 マテーマタ • Mathematics(数学)の語源となったギリシャ語。 四つ の「マテーマタ」(この四つに、「文法」・「修辞」・「弁証」 を加えたものが「自由学芸」。) 近年発見された「アイ ザック・ニュートンの手稿」のなかで、万有引力の逆自 乗則の先駆がピタゴラスの研究のなかに見出されるこ とを、ニュートン自身が認めている。ピタゴラスの「天界 のハープ」のアイデアとはおよそ次のようなものである 。「太陽から各惑星まで一定の強さ(張力)で弦を張っ てあったとして、それが掻き鳴らされる音は、一定の長 さの弦をもつ楽器があるとして、その各弦を惑星まで の距離の二乗に反比例する大きさの力で張って鳴らし たときの音階に等しい」。 排中律 • 円周率πは無理数である。 • 円周率πは無理数ではない。 • この文章の最後の文字は「る」である。 • この文章の最後の文字は「る」ではない。 自己言及の逆理(パラドックス) 第2回(April 19, 2010) • 講義の内容: テキスト「数学の花束」(中 村滋著)に沿って“野に咲く花を楽しむよう に”数学の小径を逍遙する。数学の果たす 社会的役割や諸学問の基盤としての重要 性を強調することよりも数学本来の魅力や 楽しさについて語っていくことにしたい。 美しさ、勁さ(つよさ)、ロマン 『博士の愛した数式』をめぐる花旅 http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_identity 「博士の愛した数式」をめぐる花旅 Application of Euler’s identity • • • • • 円周率πの超越性 円積問題(三大作図問題のひとつ)の解決 加法定理の複素指数法則への統合 二項方程式と正多角形の作図 ヘロンの公式の新証明 公式の理解の鍵:ネイピア数 e 「連続複利」としての指数関数 複利(非線形)と単利(線形) ◆ 金利裁定 Case 1 100円 損得が生じないという方程式 Case 2の金利rはいくらか? 1年間の預金 ×(1+0.03×1) 100(1+0.03×1) = 103 Case 1と同じ結果 となるように決まる 0.03 (3%) 100(1+r/2)2=103 1年 Case 2 同じ金利で半年ごとに預金し直す 1年の預金・・・半年ごと複利の預金 100(1+r/2)2 100(1+r/2) 100円 ×(1+r/2) 金利 r 1/2年 ×(1+r/2) r=2 103 -1 100 =0.029778 Case1とCase2とで損得が 生じないように金利が決まる これを金利裁定が働くという 金利 r 1/2年 参考文献 • • • • 『オイラーの等式』 『一瞬の利息(連続複利)』 『数学が経済を動かす』 『社会を変える驚きの数学』
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