03-digitaldetection

Niigata University, Graduate School of Science and Technology
Master’s Program, Electrical and Information Engineering
「ディジタル無線伝送工学」
ディジタル信号の復調
佐々木重信
Ｒｏｏｍ：Ａ－５０５
e-mail: [email protected]
http://telecom0.eng.niigata-u.ac.jp/ =>Lectures/WCom
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
1
主な内容
1. ディジタル信号検出の理論
1. 基底帯域信号の伝送モデル
2. 整合フィルタ
3. 2値信号の検出，誤り率
2. 帯域ディジタル信号の復調
1. 2進ディジタル信号の復調（ASK, FSK, PSK)
2. M進ディジタル信号の復調
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
2
１．ディジタル信号検出の理論
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3
基底帯域ディジタル信号の検出
• 到来信号と雑音の和をLPFに通す
–伝達関数HR(f)：パルスの判定誤り率を最小にするよう設計
–LPFの出力波形y(t)は
a : パルスの振幅(レベル)
y (t ) 

a
k  
k
p (t  kT )  n(t )
k
p(t): パルス波形
n(t): 白色ガウス雑音
• y(t)をT秒間隔の適当なタイミングでサンプリング
⇒ T秒ごとの1つの数y(nT)に変換
• 得られた値をスレショルド値と比較⇒パルス振幅の判定
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誤り率
• ディジタル通信の場合
– ディジタル符号を正しく伝送することが要求される.
– 原信号の忠実な波形再生を必要としない.
– サンプリング点での受信波形から，‘1’‘0’の2値送信
符号が正しく識別できれば良い.
– 受信信号の振幅：雑音により変動
⇒雑音レベルが大：サンプリング点で受信信号の正負
が反転しやすくなり,符号の誤りが多くなる.
• ディジタル伝送の通信品質
– 符号誤り率：信号対雑音電力比S/N(signal-to-noise
power ratio)が大きくなるにつれ小さくなる
– ビット誤り率(bit error rate: BER)
– シンボル（記号）誤り率(symbol error rate: SER)
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整合フィルタ(matched filter:MF)(1)
• 受信波形：雑音のみ or パルス信号p(t)＋雑音
• ２進信号検出器：サンプリング出力Y(t=t0)
–信号成分A（p(t)のスペクトル：P(f)）
A  Fu H ( f ) P( f )t t0   H ( f ) P( f )e j 2ft0 df

1

–雑音成分N（電力スペクトル密度Gn(f)）の分散s2

s   H ( f ) Gn ( f )df
2
2

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6
整合フィルタ（2)
• 送信された波形に対し,出力時点におけるSN比を
最大にするよう設計された線形フィルタ
– サンプル値A+NのSN比（A/s)2が最大となる
2
 A
  
s 




H ( f ) P( f )e j 2ft0 df


2
2
H ( f ) Gn ( f )df
• 上式のSN比を最大にするフィルタの伝達関数H(f)
を求める
– 次に示すSchwarzの不等式を用いる.



2
*
V ( f )W ( f )df


  V ( f ) df  W ( f ) df
2

2

– V(f), W*(f)を次のようにおく
V ( f )  H ( f ) Gn ( f ) ,W * ( f )  P( f )e j 2ft0
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Gn ( f )
7
整合フィルタ(3)
• これより SN比は次のようになる．
2
2
 A
df
   
Gn ( f )
s 
– 等号は， V(f)=KW(f)(K：任意の定数）のとき成立

P( f )
• 出力SN比の最大は次のようになる．
2
2
P( f )
 A
df
   
Gn ( f )
 s  max

• これを与える最適フィルタの伝達関数は
P* ( f )e  j 2ft0
H opt ( f )  K
Gn ( f )
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整合フィルタ(4)
• 最適フィルタの伝達関数とインパルス応答
H opt ( f )  KP* ( f )e j 2ft0 , hopt (t )  Kp(t0  t )
–検出されるべきパルスを時間反転させてt0遅らせた波形
–t0 >T（パルス時間幅）である必要がある
このような最適フィルタを
整合フィルタ
(matched filter: MF)と呼ぶ
パルスp(t)の時間が無限に長い
場合，適当なtで打ち切った波
形に対する整合フィルタに
よって近似
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整合フィルタ(5)
• このフィルタに信号v(t)を入力した場合の出力t=t0に
おけるサンプル値y(t0)


y(t0 )  K  v( ) p(t0  (t   ))d t t  K  v( ) p( )d

0

• パルス幅が時間0からTに限られている場合
T
y(t0 )  K  v(t ) p(t )dt
0
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整合フィルタ(6)
• 最適フィルタにおける，サンプル値の最大SN比
–雑音がGn(f)=N0/2の白色ガウス雑音
–サンプル値の平均

A   H opt ( f ) P( f )e
j 2ft0


df  K  P( f ) df  KE
2

–サンプル値の分散
s 
2


N0
N0 K 2
H opt ( f )
df 
E
2
2
2
–これより最大SN比は（E：信号パルスp(t)のエネルギー)
2
2
 A
  
 s  max N 0



2E
P( f ) df 
N0
2
• 最大出力SN比
–信号エネルギーと雑音電力スペクトル密度のみに依存
–信号波形には関係しない.
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整合フィルタ(7)
• v(t)が受信側入力信号なら
v(t )  r (t )  Ai p(t )  n(t )
• 出力t=t0におけるサンプル値y(t0)
–p(t)：振幅１，パルス幅が時間0からTの矩形パルス
–K=1と仮定
T
T
0
0
T
y(t0 )   {Ai p(t )  n(t )} p(t )dt   Ai p (t )dt   n(t ) p(t )dt
2
0
–平均と分散
T
E{ y (t0 )}  Ai  p 2 (t )dt  AiT
0
N0
var{ y (t0 )} 
2
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
T
0
N0
p (t )dt 
T
2
2
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整合フィルタ(8)
• t=t0におけるサンプル値のSN比は
2

E{ y (t0 )}
SNR 
2
( AiT ) 2
2 Ai T 2 E



var{ y (t0 )} ( N 0 / 2)T
N0
N0
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2進信号の検出(1)
• 受信信号r(t)を1つの数y(nT)に変換
– 線形フィルタ→出力を間隔Tでサンプル
– 相関器やマッチドフィルタでも実現できる.
• 時刻nTでサンプルした出力は次のようになる.
y(nT )  an  n(nT )
– anは送られる信号dｎ(0 or 1)に対応し，
 A1; d n  1
an  
 A0 ; d n  0
( A1  A0 )
• y(nT)を判定スレショルドVと比較し，
– y(nT)> V →’1’が伝送された
– y(nT)< V →’0’が伝送された
と判定する
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2進信号の検出(2)
• Y：サンプル値（確率変数）の条件付確率密度関数
–H1：’1’が送信された事象， H0：’0’が送信された事
象 pY ( y | H1 )  p N ( y  A1 )
pY ( y | H 0 )  p N ( y  A0 )
–N：雑音のサンプル値
• pN：雑音の確率密度関数は次式で与えられる
–σ2：雑音の分散，フィルタからの出力雑音電力NRに相当
 1  n 2 
p N ( n) 
exp    
2
2s
 2  s  
1
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2進信号の検出(3)
• 1,0が送信されたとき判定を誤る確率
V
V


Pe1  P (Y  V | H1 )   pY ( y | H1 )dy   p N ( y  A1 )dy
 ( y  A1 ) 2 

exp 
 dy
2
2  
2s
2s


1
V


Pe 0  P (Y  V | H 0 )   pY ( y | H 0 )dy   p N ( y  A0 )dy
V
V
 ( y  A0 ) 2 

exp 
 dy
2
2 V
2s
2s


1

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2進信号の検出(4)
• パルスの平均誤り率(ビット誤り率)Pe
–信号1,0が送信される確率： P1, P0 (=1－ P1)
Pe  P1Pe1  P0 Pe 0
• 最適スレショルドV0： Peが最小
–V0は次の式の解となるVである
P1 pY (V | H1 )  P0 pY (V | H 0 )
–1,0が等確率で現れる場合には
A  A0
P P
V0  1
, Pe  e1 e 0
2
2
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2進信号の検出(5)
• 誤り率を最小にする最適しきい値
A1  A0
V0 
2
を用いた場合の誤り率は

Pe  A0  A1
2
 ( x  A0 ) 2 
1
dx
exp  
2 ( N 0 / 2)
 2( N 0 / 2) 
 2 A1  A0 

 Q

N
2
0


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2進信号の検出(6)
• Q(x):上側ガウス累積分布
関数
 u2 
1 
Q x  
exp  du

x
2
 2
–Q(x)の近似式
 x2 
1
Q x  
exp   
2 x
 2
• 誤差補関数erfc(x)とは次の
ような関係にある
 
erfc ( x)  2Q 2 x
2 
2

exp

u
du


x
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

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ユニポーラ(単極）信号の場合における誤り率
•
ユニポーラ信号の波形は次のように表される.
A1  A ; d n  1
A0  0 ; d n  0
•
整合フィルタ入力： r(t)=A1p(t)+n(t)
– 出力y(nT)の信号成分は次の式で表される. (p2(t)=1)

T


an  E{ y(nT )}  E  Ap 2 (t )  n(t ) p(t ) dt  AT
0
– ここでE{･}は期待値を表す.(E{n(t)}=0)
•
整合フィルタ入力が: r(t)=A0p(t)+n(t)
– an=0となる．
•
従って最適しきい値V0=(A1+A0)/2=A2T/2となる．
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20
• 整合フィルタ(または相関器)出力y(nT)が
– V0より大きい場合にはA1が送信されたと推定
– V0より小さければA0が送信されたと推定
• ビット誤り率Peは，次のように求めることができる．
– ビットあたりのエネルギーE= A2T/2とすると,
 A2T
 2 A1T  A0T 
 2 AT 
  Q
  Q
Pe  Q

 NT 2 
 2N0
N
T
2
0
0





 E  1
 E
  erfc 
 Q
 2
 2N
N
0
0



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







21
ポーラ(両極)信号の場合における誤り率
•
ポーラ信号の波形は次のように表される.
A1   A d n  1
A0   A d n  0
•
•
上記のような両極性の信号はantipodal signalと
も呼ばれる．
最適しきい値V0=0
– y(nT)が正の場合：A1が送信されたと推定
– y(nT)が負の場合：A0が送信されたと推定
•
A1- A0 =2A
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22
• ポーラ信号の場合,ビット誤り率Peは次のように求
めることができる。
 2 A2T 
 2E  1
 E 


  erfc 

Pe  Q
 Q



 N0 
N
2
N
0
0






– ここでのビットあたりエネルギーは，E= A2T
• ポーラ信号のほうが，一定の誤り率を得るために
必要な信号対雑音比がユニポーラ信号の場合よ
りも3dB少なくてすむことがわかる.
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２．帯域ディジタル信号の復調
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帯域通過信号に対する整合フィルタ(1)
• 基底帯域信号における整合フィルタと最適受信方
式の議論がそのまま適用可能
• （例）継続時間T，振幅Ac，周波数fcの信号
p(t )  Ac cos(2f c t   ), 0  t  T , Ac  2E / T , f c  n / T
–E: p(t)のエネルギー
• この信号を検出する最適フィルタ（帯域通過整合
フィルタ）のインパルス応答(t0=T)
hopt (t )  KAc cos2f c (T  t )     KAc cos2f c t    0  t  T
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帯域通過信号に対する整合フィルタ(2)
• K=1とおいた場合，p(t)に対するフィルタ出力は
y (t )  hopt * p (t )   KAc cos2f c    Ac cos2f c (t   )   d
t
0
2
c
2
c
t
A
A

t cos 2f c t 
sin 2f c (2  t )  2 
2
4  2f c
0
Ac2
Ac2

t cos 2f c t 
sin 2f c t cos 2
2
8f c
• 第2項はほとんど無視できる
• T<t<2Tでは上式の折り返し
⇒右図のような出力となる
•両側電力スペクトル密度N0/2
のAWGNが加わったときのサン
プル値の分散：s2=N0E/2
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整合フィルタの出力サンプル値の確率密度
• 出力サンプル値P0, P1
–送信記号の仮説（H0・・・0，H1 ・・・1)に対応する平均値
–離れているほど符号の判定を誤る可能性が低くなる
• P0, P1を中心とした同心円
–雑音によるサンプル値の分散に対応
–大きいほど雑音による変動で符号の判定を誤る可能性
が高くなる
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同期検波と非同期検波
• 非同期検波
–整合フィルタ出力の包絡線を求
めた後サンプリング→判定
–搬送波の正確な同期が不要：構
成が簡単
–誤り率特性は同期検波の場合よ
り悪くなる
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• 同期検波
–受信信号と位相をあわせた搬送
波を用いた復調（下図）
⇒搬送波の位相同期のための
回路が別途必要
–誤り率特性は比較的良い
28
OOKにおける非同期検波
• MF(整合フィルタ)
–信号の帯域以外の雑音の除去
• 符号1,0の判定
–包絡線検波器の出力を標本化し,その値をもとに判定.
–標本時点t=Tsにおける包絡線の値R(Ts)とスレショルド値
RTを比較
R(Ts )  RT

R(Ts )  RT
受信信号
（OOK）
符号 '1'と判定
符号 '0'と判定
MF
包絡線
検波器
標本化
＆判別
情報出力
標本化
パルス
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29
OOK非同期検波における出力信号(1)
• 符号0が伝送されたとき，
–BPF出力：狭帯域雑音のみ
n(t )  x(t ) cos 2f c t  y (t ) sin 2f c t
となる．(x(t),y(t)は平均0の低域ガウス成分)
• 符号1が伝送されたとき
–BPF出力：信号と雑音の和
s1 (t )  n(t )  [ A  x(t )] cos 2f ct  y(t ) sin 2f ct
• 包絡線検波器を通過した出力R1(t),R0(t)
R1 (t )  [ A  x(t )]2  y 2 (t )
符号 1
R0 (t )  x 2 (t )  y 2 (t )
符号 0
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30
OOK非同期検波における出力信号(2)
• 符号1の場合：受信包絡線の標本値の確率密度関数
–ライス分布
 R 2  A2   AR 
R
p1 ( R)  exp 

 I0 
N
2N   N 

• 符号0の場合：受信包絡線の分布
–レイリー分布
 R2 
R
p0 ( R)  exp 

N
2
N


N：標本時刻におけるガウス雑音の平均電力
N  x 2 (t )  y 2 (t )
I0(x)：0次の第1種変形ベッセル関数

2m
1
 x
I 0 ( x)  
  , (m  1)  m!
m  0 m! ( m  1)  2 
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31
OOKにおける符号誤り率(非同期検波)(1)
1. 信号棄却誤り(incorrect dismissal)の確率
• 符号‘1’を伝送⇒受信機で ‘0’と判定される場合
Pe1  
RT
0
•
•
p1 ( R)dR 
RT
0
 R 2  A2   AR 
R
exp 
dR
 I0 
N
2N   N 

この積分は,MarcumのQ関数

 t 2  a2 
Q(a, b)   t exp 
I 0 at dt

b
2 

を用いると，以下のように表すことができる.
Pe1  1  Q( 2 ,  )
•
A2
RT

, 
N
ここで, 2 N
– γ：BPF出力の標本時点における平均SN比
– α：雑音電圧の実効値で正規化されたスレショルド値
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32
OOKにおける符号誤り率(非同期検波)(2)
2. 警報誤り(false alarm)
符号‘0’を伝送⇒受信機で ‘1’と判定される場合
 R2 
 2 
R
Pe 0   p0 ( R)dR  
exp 
dR  exp  
RT
RT N
 2N 
 2 
‘1’と‘0’が全体的に見て1/2ずつの割合で送信されると
すると，上の2種類の誤り率の平均として，次式が得られ
る．
  2 
1
1
Pe  ( Pe1  Pe 0 )  1  Q ( 2 ,  )  exp   
2
2
 2 

•
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
33
OOKにおける同期検波
•
同期検波の動作
① BPF通過後の受信信号に，送信されたOOK信号と位相を合わせ
た局発搬送波をかけ合わせる．
② ①の出力信号をLPFに通し，低域成分を取り出す．
–相関受信(integrate and dump)と同じ働き
③ ある時点で１，０を判定する．
•
同期検波によるOOK信号の符号判定
– 受信機において送信信号の高周波位相を正確に知る必要.
– 受信機の構成が包絡線検波の場合に比べて複雑になる.
受信信号
（OOK）
BPF
LPF
cos 2f c t
局発搬送波
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判定器
情報出力
標本化
パルス
34
OOKにおける同期検波(1)
• 受信機におけるBPF出力
–包絡線検波の場合と同様
–同期検波の後では,符号‘1’‘0’のときの信号は
u1 (t )  A  x(t )
u0 (t )  x(t )
• 符号‘1’が伝送されているときの標本値の確率密度関数
–平均値A，分散Nのガウス分布
 (u  A) 2 
1
p1 (u ) 
exp 

2N
2
N


• 符号‘0’が伝送されているときの標本値の確率密度関数
–平均値0，分散Nのガウス分布
 u2 
1
p0 (u ) 
exp 

2N
2
N


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35
OOKにおける同期検波(2)
• 符号の判定
–適当なしきい値uTを設定し,以下のように判定を行う.
u (Ts )  uT のとき符号'1'と判定

u (Ts )  uT のとき符号'0'と判定
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36
OOKにおける符号誤り率(同期検波)(1)
• 符号誤り率の計算
–標本出力の確率密度関数が変わる
–手法としては包絡線検波の場合と同じ
• 信号棄却誤りの確率
 (u  A) 2 
1
Pe1   p1 (u )du  
exp 
du



2N
2N 

1


 1  erfc
 
2
 2

A2
u

,  T
2N
N
• 警報誤りの確率


 u2 
1
Pe 0   p0 (u )du  
exp 
du

uT
uT
2N
 2N 
1
 
 erfc

2
 2
uT
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
uT
37
OOKにおける符号誤り率(同期検波)(2)
• 符号‘1’と‘0’が生起確率1/2で送信されるならば,平均の符
号誤り率は,次のようになる.
1 1

 
 1 1
Pe  1  erfc
     erfc

2 2
 2
 2  2
 2 
• 符号誤り率を最小にする最適しきい値
A
uT ( opt ) 
2
• この時,明らかに,信号棄却誤りの確率と警報誤りの確率は
等しくなり,符号‘1’と‘0’の生起確率が1/2ならば，平均の符
号誤り率は次のようになる.
1
 
Pe  erfc

2
 2 
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
38
OOKにおける符号誤り率(同期検波)(3)
• SN比が高く,γ≫1ならば，
1
erfc( x) 
exp(  x 2 ), x  
x 
より，最適スレショルドの場合の符号誤り率は,次式のように
近似される.
1

Pe 
exp(  ),   1

4
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
39
FSKにおける非同期検波
• 非同期検波の手順
–符号‘1’‘0’の搬送周波数を中心周波数とするBPFに受信信号を通し,
その出力を包絡線検波する.
–得られた2つの検波出力を適当な時刻において標本化する．
–標本パルスの大きさを比較して符号を判定する
BPF
(f1)
包絡線
検波器
最大値
判別
受信信号
（FSK）
BPF
(f0)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
包絡線
検波器
情報出力
標本化
パルス
40
FSK非同期検波における出力信号
• 信号の含まれる側の包絡線検波器出力の標本値は,ライス
分布となり,次のようになる．
2

R1
R1  A2   AR1 
p ( R1 )  exp 
I0 


N
2N   N 

• 信号の含まれない側の包絡線検波器には雑音のみが加わ
るため,出力の標本値は，次のようなレイリー分布になる.
 R0 2 
R0
p ( R0 )  exp 

N
2
N


ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
41
FSKの符号誤り率(非同期検波)
• 符号の誤りはR0>R1のときに生じる．その確率は次式のよう
になる.




Pe  prob( R0  R1 )   p( R1 )  p( R0 )dR0 dR1
0
R1
• 先の確率密度関数を代入して積分すると，符号誤り率は次
式のように求められる.
 A2  1
1
 
Pe  exp  
  exp   
2
 2
 4N  2
A2

2N
γは信号が含まれているBPF出力の標本時点におけるSN比を表す.
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
42
FSKにおける同期検波
• FSK信号の同期検波には
–周波数の異なる(f1,f0)２つの信号について，送信信号の
周波数および位相を正確に知る必要がある
–位相同期がきわめて重要となる．
BPF
(f1)
受信信号
（FSK）
LPF
最大値
判別
cos 2f1t
BPF
情報出力
LPF
(f0)
cos 2f 0t
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
標本化
パルス
43
FSK同期検波における出力信号
• 搬送波周波数f1の符号‘1’の信号が送られたとしよう.
• 中心周波数f1のBPF,および符号‘0’の信号を通す中心周波数f0のBPF
出力はそれぞれ次のようになる.
s1 (t )  n1 (t )  [ A  x1 (t )] cos 2f1t  y1 (t ) sin 2f1t
n0 (t )  x0 (t ) cos 2f 0t  y0 (t ) sin 2f 0t
• この信号にcos2f1t,cos2f0tの搬送波をかけ,LPFを通すことにより2倍
の周波数成分を取り除く.
• 双方ののLPF出力は次のようになる(共通の係数1/2は省略)
–信号を含む側のLPF出力標本値は平均値A，分散Nのガウス分布
–信号を含まない側は平均値0，分散Nのガウス分布
u1 (t )  A  x1 (t )
u0 (t )  x0 (t )
• LPF出力を1パルスにつき1回標本化し,その値を比較することにより符
号の判定を行う.
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
44
FSKの符号誤り率(同期検波)(1)
• 符号誤り率は標本時点でu0>u1となる確率である．
–これはまた,z=x0-x1>Aとなる確率でもある.
• x0,x1は互いに独立,またガウス変数の差の平均値はそれぞ
れの平均値の差，分散は各分散の和になる性質を用いると,
2
2
2
z

0
,
z

x

x
0
1  2N
となる．よってzの確率分布は，次のように表される.
 z2 
1
p( z ) 
exp 

4N
4
N


ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
45
FSKの符号誤り率(同期検波)(2)
• 符号の誤りは，z>Aのとき生じ，その確率は以下のように求
められる.


 z2 
1
Pe   p( z )dz 
exp 
dz


A
A
4N
 2N 

1
A2 
 
 erfc
 


2
2N 
 2

• SN比が高く,γ≫1ならば，符号誤り率は,次式のように近似
される.
1

Pe 
exp(  ),   1
2
2
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
46
PSKにおける同期検波
• PSK
–位相の変化により情報を伝送
⇒検波方法は同期検波のみとなる．
–受信信号と乗積をとる基準搬送波は，別に設ける基準
搬送波再生回路により受信信号から抽出
–サンプルした出力が
• 正： 1と判定
• 負： 0と判定
受信信号
（PSK）
BPF
LPF
cos 2f c t
局発搬送波
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
極性
判定器
情報出力
標本化
パルス
47
PSKにおける同期検波
• BPFの出力は常に信号と雑音の和
–符号‘1’と符号‘0’に対応した出力
v(t )  [ A  x(t )] cos 2f ct  y (t ) sin 2f ct
• 基準搬送波との乗積をとり, LPFを通した出力
(共通の係数1/2は省略)
u1 (t )  A  x(t ) 符号'1'のとき
u0 (t )   A  x(t ) 符号'0'のとき
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
48
PSKの符号誤り率
• LPF出力を1パルスにつき1回標本化
⇒値の正負により符号の判定を行う.
• 標本値：平均値Aまたは-A，分散Nのガウス分布
• PSK信号の符号誤り率
–符号間の距離がOOKの2倍
 (u  A) 2 
1
Pe  
exp 
du

0
2N
2N 


1
A2 
 erfc  
 

2
2N 


ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
49
DPSKにおける遅延検波
• DPSKにおける遅延検波の手順
① 1ビット前の受信パルスをパルス時間Tだけ遅延
② これと現在の受信パルスとの乗積をとる
○基準搬送波の再生が不要
– 1ビット前の受信パルスが基準
△基準搬送波にも雑音が含まれる
⇒誤り率はPSK同期検波に比べてやや悪くなる.
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
50
DPSK遅延検波における誤り率
• DPSK遅延検波におけるビット誤り率は,次式で求め
られる
(導出は省略）.
Eb
1
Peb  exp( 
)
2
N0
–誤り率特性としては，PSK同期検波より少し劣る
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
51
各変調方式の誤り率の比較
• 情報ビット当たり信号エネルギー：Eb
–整合フィルタ出力の場合最大
• 両側雑音電力スペクトル密度：N0/2
とした場合の誤り率の比較（下の表）
• 次スライドの = (Eb/N0)に当たる
–OOKの場合のEbはFSK,PSKの1/2（‘0’,‘1’が等確率で発生と仮定）
変調方式
／検波方式
同期検波
ASK
（OOK)
 Eb
1
Peb  erfc 
2
 2N0
FSK




非同期検波
Peb 
E
1
exp(  b )
2
2N0
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
Peb 
 Eb
1
erfc 
2
 2N0
PSK




E
1
Peb  exp(  b )
2
2N0
Peb 
 Eb 
1

erfc 

2
 N0 
（DPSK)
Peb 
E
1
exp(  b )
2
N0
52
各変調方式の誤り率の比較
• 各ディジタル通信方式の誤り率
は,いずれも帯域フィルタ出力に
おけるSN比γの関数として表さ
れる。(右図参照）
• 同期PSKは，同じ誤り率を実現す
るのに必要なSN比が最も低
く,FSKに比べて伝送帯域幅も少
ない.
• 非同期検波と同期検波との比較
–同期検波のほうが低い符号誤り
率が得られ,その差はSN比が低い
ほど大きくなる.
–同期検波においては送信搬送波
と位相同期した再生搬送波を必
要とするため,受信機の構成が複
雑になる.
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
(Eb/N0)
53
M進信号における誤り率
• M進信号における誤り率は，k個の符号列からなる
記号(symbol)あるいは符号語(code word)の誤り率
である.
• 記号誤りが生じたとき,常に他の記号にランダムに
等確率で誤るものとすれば，符号の誤り率(ビット誤
り率)Pebと記号誤り率Peとの関係は,次のようになる.
2 k 1
Peb  k
Pe
2 1
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
54
MASKにおける記号誤り率
• MASKにおける受信信号の判定
検波出力をM個の信号点間にあるM-1個のしきい値（下図参照）と比較
出力に最も近い信号点に対応する記号が送信されたと推定
• MASKにおける記号誤り率
Eav ：記号あたり平均エネルギー
 3(log M ) Eb ( av)

 M 1
E
M 1
3
av
2


Pe 
erfc 

erfc
2
2


M
(
M

1
)
N
M
(
M
 1) N 0
0 


si
si+1
i
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
si+2
i+1
si+3
i+2
si+4
i+3
55




MASKの記号誤り率
(Eb/N0)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
56
MFSKの受信システム
• M個の異なる通過帯域を持つBPFが必要
• 各検波器の出力の中からもっとも大きい出力の信
号に対応する記号が送信されたと推定する。
BPF
(f1)
受信信号
（MFSK）
BPF
(f2)
包絡線
検波器
包絡線
検波器
最大値
判別
情報出力
標本化
パルス
BPF
(fM)
包絡線
検波器
MFSK受信機の構成(非同期検波)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
57
非同期MFSKにおける復調器の例
• 同相（I相）成分と直角（Q相）
成分を利用し、判定のための
サンプル値
Z i  I i2  Qi2
i  0,1,  M  1
をつくる
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
58
MFSKの記号誤り率
• 同期検波の場合
 Es
( M  1)
Pe 
erfc 
2
 2N0
 ( M  1)
 log 2 M Eb 



erfc



2
2
N
0



• 非同期検波の場合
M
Pe   (1)
n 1
n 1
M
  (1)
n 1
n 1

 M  1 1
n Es 



exp  
 n  n 1
 n  1 N0 

 M  1 1
n (log 2 M ) Eb 



exp  
N0
 n  n 1
 n 1

ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
59
MFSKの記号誤り率
• MFSKの記号誤り率
–Mの増加につれて誤り率特
性のこう配が鋭くなる
–M→大
⇒誤り率特性の改善
• Mが大になるほど占有する
周波数帯域は指数的に大き
くなる．
(Eb/N0)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
60
MPSKの復調器
• 同相（I相）成分と直角（Q相）成分を利用し、それぞれの整合フィルタ出
力をもとに判定のためのサンプル値
Z i  tan 1
Q
I
をつくる
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
61
MPSKの記号誤り率
• MPSKの記号誤り率の近似式
 2 Es



E


b
  erfc  2(log 2 M )

Pe  erfc 
sin
sin



N
M
N
M
0
0




ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
(Eb/N0)
62
QPSKにおける誤り率(記号誤り率)(1)
• 信号s1(右下図)が送信された場合
–この場合,雑音が重畳された受信信号を表す合成ベクト
ルが,標本時点において第1象限にあれば正しく判定され,
それ以外の象限に入ると誤りになる.
• 合成ベクトルの先端の座標(x,y)の確率密度関数は,
次のように表される．（Nは雑音の平均電力)
 ( x  A / 2)2 
1
p( x) 
exp 

2N
2
N


 ( y  A / 2)2 
1
p( y ) 
exp 

2N
2
N


Q
s4
A
I
s3
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
s1
s2
63
QPSKにおける誤り率(記号誤り率)(2)
• ガウス変数x,yは互いに独立なので,記号が正しく判
定される確率は,次のようになる.
2
 1
  
Pc  prob( x  0)  prob( y  0)  1  erfc

 2 
 2
• 従って,記号誤り率は次のようになる.
Pe  1  Pc
   1
  
 erfc
 1  erfc

 2  4
 2 
• ここでbは1記号の情報ビット数k=log2Mで正規化し
たビット当りSN比で, b ＝  /kである．
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
64
QPSKにおける誤り率(ビット誤り率)
• QPSKにおけるビット誤り率は,2進PSK(BPSK)の
ビット誤り率と同じになる.
 
1
Peb  erfc 
2
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」

A2 
  

2N 

65
QAM信号の復調
• 復調には同期検波が用いられる
• 同相成分，直交成分それぞれの搬送波位相が正
確にあわせられていなければならない。
同相成分
（I成分)
受信信号
（16QAM）
LPF
BPF
/2
移相器
直交成分
（Q成分)
搬送波
発振器
LPF
図
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
I軸
判別
符号
判別
情報出力
Q軸
判別
QAM復調器の構成
66
16QAMにおける誤り率（記号誤り率）(1)
• 信号配置は対称なので，第1象限についてのみ考える．
• 第1象限にはs1, s2, s3, s4 の4つの信号点がある．
–最小信号点間距離＝d
• 判定領域の境界は各信号点を結ぶ垂直２等分線
• 信号s1が正しく判定される確率
 1
Pc1  
 2N


d
 ( x  3d / 2)  
exp 
dx 
2N

 
2
Q
2
d/2
 1
 d 
 1  erfc 

 2 2 N 
 2
• 信号s3が正しく判定される確率

 d 
Pc 3  1  erfc 

 2 2 N 

ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
2
s1
s4
2
d/2
d
s3
s2
I
d
図 16QAMの第1象限に
おける信号配置
67
16QAMにおける誤り率（記号誤り率）(2)
• 信号s2, s4が正しく判定される確率
 1
 d  
 d 
Pc 2  Pc 4  1  erfc 
 1  erfc 

 2 2 N  
 2 2 N 
 2
• よって，正しく信号が判定される確率は平均として,
1
Pc  (4 Pc1  8Pc 2  4 Pc 3 )
16
2
 3
 d 
 1  erfc 

 2 2 N 
 4
• これより，記号誤り率は次の式で求められる．
Pe  1  Pc
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
68
16QAMにおける誤り率（記号誤り率）(3)
• 16QAM信号の振幅の最大値をAとすると，dは，
2
d
A
3
–振幅は，A，√5A/3，A/3の3種類
• 平均の電力は次のようになる.
2
2



1 1
5
A
A
5 2


2


4 A  8
S
 4    A


2 16 
3 
3   18




• よって，16QAMの誤り率は，次のようになる.
 3
 A 
Pe  1  1  erfc 

 6 N 
 4
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
2
69
16QAMにおける誤り率（記号誤り率）(4)
• 平均SN比（記号あたり)は次のようになる．
S 5 A2
 
N 18 N
• したがって記号誤り率は次のように表すこともできる．
 
 3
Pe  1  1  erfc (
)
10 
 4
• 実際の通信回線ではSN比は十分大きいため，記号誤り率
は近似的に次のように表せる．
2
  
2
,   1
Pe  erfc 

4
10


ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
70
16QAMにおける誤り率（記号誤り率）
• Mの増加
⇒周波数利用効率の増加
⇒記号誤り率の増加
• 記号誤り率の増加は
16QAM＜16PSK＜16ASK
• 信号の平均電力を同じにした場
合、2次元平面に信号点を配置
するQAMがもっとも有利
(Eb/N0)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
71
MQAM変調における記号誤り率(1)
• 一般的なMQAM変調における記号誤り率
16QAMにおける誤り率の議論を一般化
2

M 1
d 
Pe  1  1 
erfc (
)
M
N 

d：信号点間の最小距離
M個の等確率の信号の平均エネルギーをkEbとすると、
2
2
M / 2 1 M / 2 1 
 d

 d
 
MkEb  4     id     jd  , k  log 2 M
 2
 
i 0
j 0 
 2

より，
6kEb
d
,
M 1
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
k  log 2 M
72
MQAM変調における記号誤り率(2)
• 結果として、MQAMの記号誤り率は次のようになる


M 1
6 Es

Pe  1  1 
erfc 
M

 M 1 N0




2

 6 log 2 M Eb 
M 1

 1  1 
erfc 

M

1
N
M
0 



ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
2
73
MQAM変調における記号誤り率(3)
• Mの増加
⇒周波数利用効率の増加
⇒同じ誤り率を達成するため
に必要な電力が増加
• 各信号点間の誤り方は一様
ではない
⇒通信路符号化との組合せ
で周波数利用効率（伝送速
度）を損なわずに誤り率特性
の改善が可能
↓
＜符号化変調＞
(Es/N0)
ShigenobuSasaki Niigata U. 「ディジタル無線伝送工学」
74

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