折紙と科学技術 筑波大学 大学院システム情報工学研究科 コンピュータサイエンス専攻 井田哲雄 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙 （origami）の起源 • 折紙の歴史は紙とともに始まっ た • 610年僧侶曇徴が中国から日 本に紙の製法をもたらした • 宗教，政治，貴族社会などの場 で紙をいろいろな形に折って儀 式などに使用された • 小笠原流，伊勢流などの流派さ え生まれた 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の使われ方 • 教材として – 手で触れることができる – 学ぶ側のレベルに応じた抽象的 な理解が出来る – 紙だけで，他の道具は不要 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の使われ方 • 教材として • 日用品として – 袋を作る．ものを包む． – 紙コップを作る． 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙による紙コップの作成 G B GG BD D D B D FF E E C G A CC C F B F E B E E A AA B B A 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の使われ方 • 教材として • 日用品として • 工芸品として 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 六角形の箱と銘々皿 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の使われ方 • • • • 教材として 日用品として 工芸品として 折り方の技術として – 宇宙航空技術，ミクロ医療技術 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム パネルの折り畳み・展開 提供 宇宙航空研究開発機構(JAXA) 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の使われ方 • • • • 教材として 日用品として 工芸品として 折り方の技術として – 宇宙航空技術，ミクロ医療技術 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム コンピュータによる折紙 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の理論 • これらを支える折紙の基礎理論 がある • 折紙はもともと紙を「折る」という 手で必ずできる方法に基づいて いる • 折れることの意味を考察するの が第一歩 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の公理論的考察 • ユークリッド平面幾何学（ユーク リッド原論） • ヒルベルトの枠組み（幾何学的 基礎論 Grundlagen der Geometrie） • 藤田文章の折紙公理 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム ユークリッド原論：定義 1. 点とは部分を持たないもので ある． 2. 線とは幅のない長さである． 3. 線の端は点である． 4. 直線とはその上にある点につ いて一様に横たわる線である． 以下２１．まで 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム ユークリッド原論：公準 次のことが要請されているとせよ. 1. 任意の点から任意の点へ直線をひくこと 2. 有限直線を連続して一直線に延長するこ と， 3. 任意の点と距離（半径）とをもって円を描く こと． 4. すべての直角は互いに等しいこと．および 5. １直線が２直線に交わり同じ側の内角の 和を２直角より小さくするならば，この２直 線は限りなく延長されると２直角より小さ い角のある側において交わること． 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙の公理論的考察 • ユークリッド平面幾何学（ユーク リッド原論） • ヒルベルトの枠組み（幾何学的 基礎論 Grundlagen der Geometrie） • 藤田文章の折紙公理 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 藤田の公理系 • (O1) 二つの点 P と Qが与えら れたとき ，この2点を通る直線 に沿って折ることができる • (O2) 二つの点 が与えられたと き ，一つの点を他の点に重ね るように折ることができる • (O3) 二つの線 が与えられたと き ，一つの線を他の線に重ね るように折ることができる 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 藤田の公理系 （続き） • (O4) 一つの点 P と一つの線mが与 えられたとき ，mに垂直で P を通る 線に沿って折ることができる • (O5) 二つの点P ，Q と一つの線m が与えられたとき ，Q を通る線に 沿って，Pとmを重ねるように折ること ができる • (O6) 二つの点P ，Q と二つの線 m， n が与えられたとき, Pと m, Q と nを 重ねるように折ることができる 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム 藤田の公理論 (O6) A AA A B AA D C B m AA AA B A n A B A PP A PP P B A PP P A B Q PP QQ A P Q B P Q QPPQ QQ A B QQ Q Q P QQQQQQQQ P B P A BB P P BB BB A PP BBB A P A 2006/12/08 Q B 厦門大学日中学術交流シンポジウム 折紙とユークリッド幾何学 • 折紙はユークリッド幾何学より も強力 – 角の三等分線は折紙で折れるが 定規とコンパスでは折れない – 正七角形についても同様 • 東洋人の手の器用さ，優れた 製紙の技術，調整の精神が折 紙という芸術と技術を育ててき た 2006/12/08 厦門大学日中学術交流シンポジウム
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