演習問題

問題 1
学生 i は通学の際に、徒歩、電車、バスの 3 つの選択肢があるとする。徒歩を選択肢 1、電車を選択肢 2、
バスを選択肢 3 とする。選択肢 j ( j =1,..,3)を選んだ時の学生 i の効用 Uij は
Uij = αj + βj Xi + εij
で与えられるとする。ここで Xi は学生 i の家から学校までの距離とする。学生 i は最も高い効用を与えてく
れる選択肢を選ぶとする。この問題に多項ロジットモデルを適用した。この時、学生 i が選択肢 j を選ぶ確
率を Fij とすると、Fij は
Fi1 =
exp( 1   1 X i )
,
1  exp( 1   1 X i )  exp( 2   2 X i )
Fi3 =
1
1  exp( 1   1 X i )  exp( 2   2 X i )
Fi2 =
exp( 2   2 X i )
,
1  exp( 1   1 X i )  exp( 2   2 X i )
となる。この時、パラメーター  j ,  j ( j =1, 2) を αj と βj で表すとどのようになるか？
問題 2
個人 i の選択肢 1 からの効用は Ui1 = 1 X i   i1 、選択肢 2 からの効用は U i 2   2 X i +  i 2 であるとする(選
択肢はこの 2 つしかないとする)。ここで Xi は個人 i について固有の値をとる変数である。個人 i は効用が
大きい方の選択肢を選ぶとする。今、i =1,…,3 の個人について、X1 = 1, X2 =1, X3 = 0 であり、また個人 1
は選択肢 1 を、個人 2 は選択肢 2 を、個人 3 は選択肢 1 を、選んだ事が観測されたとする。 z i   i 2   i1 が
密度関数 exp( – z ) の指数分布に従っているときに、パラメータ   1   2 の最尤推定値を求めよ。

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