2016年度北大・東北大等合同セミナー「確率モデル要論」(尾畑伸明著)

2016 年度北大・東北大等合同セミナー「確率モデル要論」(尾畑伸明著)
講師: 長谷部高広
研究室: 北海道大学理学部 3 号館 606
学習内容
「確率モデル要論」(参考文献 [1]) の 6 章 (マルコフ連鎖) を読もうと思います. マルコ
フ連鎖 (Markov chain) とは, 集合のある点から出発して, 次の時刻には別の点にある確率
で移動していくということを繰り返すプロセスのことです. 以下の図
0
•
1
•
1
1
2
2
•
1
2
1
2
3
•
1
2
1
は, ある時刻で位置 1, 2 にいるならば, 次の時刻では隣のどちらかに等確率 1/2 で移動し,
端の点 0,3 にいるならば, 次の時刻では確率 1 で隣に移動するというマルコフ連鎖です. Xn
を 2 から出発して時刻 n における位置を表すとすると, もちろん時刻 0 では確率 1 で位置
2 にいるのですが, 実は時間 n が十分大きいならば, Xn が位置 k (k = 0, 1, 2, 3) にいる確
率はおよそ
{
1
, k = 0, 3,
P [Xn = k] ≃ 6
1
, k = 1, 2
3
となります. またこの極限の確率 ( 61 , 13 , 13 , 16 ) (定常分布と呼ぶ) は出発地点に依存しません.
もちろんもっと複雑なマルコフ連鎖も考えられます. この本では以下の問いに答えてい
きます.
(1) どのような条件の下で, 定常分布が存在するか？
(2) 定常分布はどのように求めることができるのか？
問 (1) に関するキーワードは「既約性」「再帰性」「周期性」です. 問 (2) については「行
列の固有ベクトル」がキーワードになります.
予備知識
• 線形代数 (行列のかけ算や固有値など). 例えば正方行列 P = (pij )ni,j=1 に対して, P k
の (i, j) 成分はどのように表されるか？
• 測度論を使わない確率論の基礎 (確率, 期待値, 確率変数, 条件付き確率など). 参考
文献として [2, 3] を挙げておきます. 測度論は知らなくてもよいが, 知っていると理
解が深まると思います. 測度論に基づく確率論を学びたい人はセミナーのテキスト
[1] の 1,2,3 章あるいは [4, 5] を参考にしてください.
参考文献
[1] 尾畑伸明確率モデル要論, 牧野書店, 2012.
[2] 鈴木武確率入門: モデルで学ぶ, 培風館, 1997.
[3] 小杉のぶ子はじめての確率論, 近代科学社, 2011.
[4] 佐藤坦はじめての確率論: 測度から確率へ, 共立出版, 1994.
[5] 舟木直久確率論, 朝倉書店, 2004.

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