§4 Abtastung analoger Signale 4. Abtastung analoger Signale Zeitdiskrete Signale entstehen meistens durch Abtastung kontinuierlicher Signale. Wir wollen uns in diesem Kapitel die Umwandlung in zeitdiskrete und letztlich in digitale Signale, die Rückumwandlung und die dadurch mögliche Verarbeitung analoger Signale mit digitalen Systemen ansehen. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F1 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Trotz möglicher Alternativen dominiert die periodische Abtastung. Ist x a :ℝ ℂ t x a t ein analoges Signal, so wählt man eine Abtastperiode T ∈ℝ und erhält als x : ℤ ℂ n x a nT f s =1/T der Abtastperiode das abgetastete, zeitdiskrete Signal. Der Kehrwert heißt Abtastfrequenz (in Hertz) und wird manchmal auch in Radianten pro Sekunde ( rad/s ) angegeben. Systeme, die x aus xa erzeugen, heißen Zeitkontinuierlich-Zeitdiskret-Wandler (C/D-Wandler – continuous – to – discrete – time converter). Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F2 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Mathematisch betrachtet man den C/D-Wandler in der Regel als Modulation mit einer Impulsfolge, gefolgt von der Umwandlung einer Impulsfolge in eine zeitdiskrete Folge. Dabei kann man natürlich verschiedene Abtastraten verwenden. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F3 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Formal betrachten wir eine Impulsfolge (ist aber ein verallgemeinertes analoges Signal!) der Form s ∈S ' ℝ ∞ t ∑n=−∞ t −nT mit der Deltadistribution ∈S ' ℝ . Das Eingangssignal x a :ℝ ℂ t x a t modulieren wir mit s und erhalten ∞ x s := x a s∈S ' ℝ ∞ t x a t ∑n=−∞ t−nT =∑n=−∞ x a nT t−nT Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F4 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Abtastung im Fourierraum Da xs durch Multiplikation von xa und s entsteht, kann die Fouriertransformatierte durch Faltung der beiden Transformierten berechnet werden. Die Fouriertransformierte von s ist S ∈S ' ℝ 2 ∞ S i = ∑k =−∞ −k s T mit Abtastfrequenz s =2 / T (ohne Beweis). Ist x a :i ℝ ℂ ,i X a i die Fouriertransformierte von xa, so gilt X s :ℝ ℂ 1 1 ∞ X s i = X a i ∗S i = ∑k =−∞ X a i −k s T 2 Die Fouriertransformierte von xs entsteht also durch Überlagerung verschobener Kopien der FT von xa. Die Verschiebungen sind ganzzahlige Vielfache der Abtastfrequenz! Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F5 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung [ OSB, S. 199, Abb. 4.3 ] Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F6 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Aus den Bildern ist zu erkennen, dass für s− N N ⇔ s2 N keine Überlappung entsteht. Hängt man ein ideales Tiefpassfilter mit Frequenzgang H r : ℝ ℂ i H r i an, so folgt für das Ergebnis xr aus X r i := H r i X s i letztlich X r i = X a i Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F7 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F8 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Nyquisttheorem x a :ℝ ℂ Theorem (Nyquist): mit FT X a : ℝ ℂ sei ein bandbegrenztes Signal, d. h. X a i =0 für ∣∣≥ N Dann ist xa eindeutig durch die Abtastwerte x n := x a nT , n∈ℤ , bestimmt, wenn 2 s = ≥2 N T gilt. Ω N heißt Nyquistfrequenz und die Mindestabtastfrequenz 2 Ω N heißt Nyquist-Rate. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F9 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Aliasing Wir wollen uns nun ansehen, was bei einer Verletzung des Nyquisttheorems passiert. Dazu betrachten wir das Kosinussignal x a :ℝ ℂ , x a t =cos0 t mit FT Für ∞ X a ∈S ' ℝ , X a i =∑k =−∞ [ −0 2 k 0 2 k ] s ≥2 0 gibt es keine Veränderung, also x r : ℝ ℂ , x r t=cos0 t während für s 2 0 gilt: x r : ℝ ℂ , x r t=cos s −0 t Dieses Problem nennt man Aliasing. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F10 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F11 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F12 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F13 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Beispiel zu Aliasing Wir betrachten x a :ℝ ℂ , x a t=cos4000 t 1 Als Abtastperiode nutzen wir T = und erhalten 6000 x : ℤ ℂ , x [n]= x a nT =cos 4000 T n=cos0 n mit 0 =4000 T =2 /3 . Wegen s =2/T =12000 und 0 =4000 sind die Bedingungen von Nyquist erfüllt und es tritt kein Aliasing auf. Im Fourierraum gilt X a : i ℝ ℂ und X s :i ℝ ℂ X a i =−4000 4000 1 ∞ X s i = ∑k =−∞ X a i − s T Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F14 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung [ OSB S. 203, Abb. 4.6 ] 0 Man kann erkennen, dass wegen bzw. eine Rekonstruktion von xa aus x möglich ist. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung 0 T s T / 2 F15 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Nun betrachten wir x a :ℝ ℂ x a t =cos16000t 1 und weiterhin T = als Abtastperiode. Wegen 6000 s =2 / T =120002 0 =32000 lässt sich das Theorem von Nyquist nicht anwenden. Im Fourierraum gilt X a : i ℝ ℂ X a i = −16000 16000 und für das mit der Impulsfolge zu T modulierten Signal xs haben wir X s :iℝ ℂ 1 ∞ ∑ X i −k s T k =−∞ a ∞ = ∑k=−∞ [−k s−16000k s16000] T ∞ =6000 ∑k =−∞ [−k 112000−4000 k 1 120004000] X s i = Dies ist die gleiche FT wie zuvor. Bei einer Rekonstruktion würden wir also x a :ℝ ℂ x a t =cos 4000t erhalten! Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F16 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Fouriertransformierte des zeitdiskreten Signals i Wir wollen nun X e , die zeitdiskrete Fouriertransformierte der Folge und X a i ausdrücken. x [n] , in Abhängigkeit von X s i Wegen ∞ x s t = ∑n=−∞ x a nT t−nT ergibt die kontinuierliche FT ∞ X s i = ∑n=−∞ x a nT e −i T n Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F17 §4 Abtastung analoger Signale 4.1 Periodische Abtastung Da x [n]= x a nT gilt und wir nach Def. ∞ X e = ∑n=−∞ x [n]e i −i n schreiben können, folgt i X s i = X e |=T = X e Dies ergibt X e i T bzw. =T 1 ∞ = ∑k =−∞ X a i −k s T X e i = X ist also die mit i T 2 k 1 ∞ X i − . ∑ a k =−∞ T T T frequenzskalierte Funktion Xs. Signalverarbeitung Abteilung für Bild- und Signalverarbeitung F18
© Copyright 2024 ExpyDoc
