4. Aufgabenblatt - Hochschule RheinMain

c
Karlheinz
Spindler, Studiengang Angewandte Mathematik, Hochschule RheinMain, Studienort Wiesbaden
4. Aufgabenblatt
Aufgabe (4.1) Gib ein Beispiel für eine Ringerweiterung R ⊆ S und ein Primideal P E R an, zu dem es
kein Primideal Q E S gibt mit P = Q ∩ R.
Aufgabe (4.2) Es sei R ⊆ S eine (nicht notwendigerweise ganze!) Ringerweiterung, und es sei P ein Primideal
von R. Zeige, daß es genau dann ein Primideal Q von S
gibt, das über P liegt, wenn die Bedingung P S ∩ R = P
gilt. (Dabei ist P S das von P erzeugte
P Ideal von S; es
besteht aus allen endlichen Summen i pi si mit pi ∈ P
und si ∈ S.)
Hinweis: Ist die Bedingung P S ∩ R = P erfüllt, so
setze Σ := R \ P und wähle Q als maximales Element der
Menge M := {J ⊳ S | P S ⊆ J ⊆ S \ Σ}.
Aufgabe (4.3) Es seien R ein Ring, I ein Ideal von
R und Q ein Primideal mit I ⊆ Q. Zeige, daß die Menge
M := {P E R | P prim, I ⊆ P ⊆ Q}
nicht leer ist und ein minimales Element besitzt.
Aufgabe (4.4) Es sei n ∈ Z \ {0, 1} eine quadratfreie
√ ganze Zahl. Bestimme den ganzen Abschluß von Z in
Q[ n].
Aufgabe (4.5) Es seien a, b ∈ R reelle Zahlen. Entscheide für jede der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder
falsch ist! (Jeweils Beweis oder Gegenbeispiel!)
(a) Sind a und b algebraisch über Z, so ist auch a + ib
algebraisch über Z.
(b) Ist a + ib algebraisch über Z, so sind auch a und b
algebraisch über Z.
(c) Sind a und b ganz über Z, so ist a + ib ganz über Z.
(d) Ist a + ib ganz über Z, so sind a und b ganz über Z.
Aufgabe (4.6) (a) Finde alle rationalen Zahlen r ∈
Q, für die cos(rπ) und sin(rπ) rational sind.
(b) Finde alle natürlichen Zahlen n ∈ N, für die
cos(2π/n) rational ist.
Aufgabe (4.7) Es sei R ⊆ S eine ganze Ringerweiterung, wobei S ein Integritätsbereich sei. Zeige, daß genau
dann R ein Körper ist, wenn S ein Körper ist.

Download Report