Übungsblatt 1– Lösungen

Vorlesung Geometrie
http://www.math.uni-leipzig.de/~grosse/teaching
Dr. Nadine Große
WS 14/15
Übungsblatt 1– Lösungen
Aufgabe 1. Im 4-dimensionalen affinen Raum A sind bzgl. eines affinen Koordinatensystems die Punkte
P1 (1, −1, 0, 1), P2 (1, 1, −1, 0), P3 (0, 0, 1, −1) und P4 (0, −1, −1, 1) gegeben. Sei L der von diesen Punkten
aufgespannte Unterraum. Zeigen Sie, dass L dreidimensional ist und weisen Sie nach, dass P (3, 2, −2, 1)
in L liegt. Berechnen Sie die baryzentrischen Koordinaten von P bzgl. P1 , P2 , P3 und P4 .
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Lösung 1. L = P1 + U mit U = Span(P1 P2 , P1 P3 , P1 P4 ). Es ist P1 P2 = (0, 2, −1, −1)T , P1 P3 =
−
−
−
→
(−1, 1, 1, −2)T und P1 P4 = (−1, 0, −1, 0)T . Diese drei Vektoren sind linear unabhängig (auf übliche
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Arten nachrechenbar). Also ist U und damit auch L dreidimensional. Weiterhin ist P1 P = (2, 3, −2, 0)T =
−
−
→
2(0, 2, −1, −1)T − (−1, 1, 1, −2)T − (−1, 0, −1, 0)T . Also, P1 P ∈ U und P ∈ L. Wir können damit auch
direkt die baryzentrische Koordinaten ablesen: (1, 2, −1, −1). (Die erste Koordinate folgt, da die Summe
eins ergeben muss.)
Aufgabe 2. Skizzieren Sie die affine Ebene über F3 , dem Körper mit drei Elementen, und kennzeichnen
Sie alle affinen Geraden. Wählen Sie ein affines Koordinatensystem und beschreiben Sie eine dieser affinen
Geraden mittels dieses Koordinatensystems. Welche Richtung hat diese affine Gerade?
Wie viele Geraden enthält ein n-dimensionaler affiner Raum über einem endlichen Körper mit q Elementen? Begründen Sie.
Lösung 2. Die Anzahl der Punkte in einem n-dimensionalen affiner Raum über einem endlichen Körper
mit q Elementen
ist q n . Auf einer Gerade liegen jeweils q Punkte. Durch
je zwei Punkt geht eine Gerade,
qn
das sind 2 Möglichkeiten. Dabei haben wir aber jede Gerade 2q mal gezählt. also gibt es insgesamt
q
3
qn
32
2
2 / 2 Geraden. Für den (F3 ) haben wir demnach 2 / 2 = 12 Geraden, siehe Bild. Wir wählen als
affines Koordinatensystem {(0, 0), e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)}.
(2,2)
{(0, 1) + s(1, 1) | s ∈ F2 }
{(0, 0) + s(2, 1) | s ∈ F2 }
(0,0)
(1,0)
(2,0)
= {(0, 0) + s(1, 2) | s ∈ F2 }
Aufgabe 3. Sei A ein affiner Raum und ψ : A → A eine affine Abbildung. Zeigen Sie, dass die Menge
aller Fixpunkte F := {P ∈ A | ψ(P ) = P } von ψ ein affiner Unterraum von A ist.
Lösung 3. Sei A ein affiner Raum über K mit Richtung V . Sei ϕ : V → V die zu ψ gehörige lineare
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Abbildung. Setze U := {P Q | P, Q ∈ F }. Dann ist für alle P, Q ∈ F
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−−→
ϕ(P Q) = ψ(P )ψ(Q) = P Q
und damit ϕ|U = id. Wir zeigen jetzt, dass F = P + U und U ein Untervektorraum von V ist: Nach
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Definition von U gilt F ⊆ P +U . Sei nun Q = P +u mit u ∈ U . Dann ist P ψ(Q) = ψ(P )ψ(Q) = ϕ(u) = u,
also ψ(Q) = P + u = Q und Q ∈ F . Damit ist F = P + U . Bleibt zu zeigen, dass U ein Untervektorraum
ist: Ist u1 , u2 ∈ U , k ∈ K, dann ist auch ku1 + u2 ∈ U wegen ψ(P + ku1 + u2 ) = ψ(P ) + ϕ(ku1 + u2 ) =
P + kϕ(u1 ) + ϕ(u2 ) = P + ku1 + u2 (Die zweite Gleichheit nutzt hier die Linearität von ϕ und die dritte,
dass ϕ|U = id ist.).
Aufgabe 4. Gegeben sei ein affiner Raum A über einem Körper K mit Charakteristik ungleich 2.
Zeigen Sie, dass eine Teilmenge L von A genau dann ein affiner Unterraum von A ist, wenn L mit
je zwei verschiedenen Punkten auch alle Punkte auf deren Verbindungsgerade enthält. Geben Sie ein
Gegenbeispiel für diese Aussage, wenn K nur zwei Elemente hat. (Tipp für die Richtung, bei der man
zeigen muss, dass L ein affiner Unterraum ist: Zeigen, Sie dass L mit drei verschiedenen Punkten P, Q, R
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−−→
auch den Punkt P + 2QR und damit auch den Punkt P + QR enthält.)
Lösung 4. Ist L ein affiner Unterraum von A, dann enthält L mit je zwei verschiedenen Punkten
auch deren Verbindungsgerade unabhängig vom unterliegenden Körper (s.z.B. Vorlesung). Sei nun L eine
Teilmenge von A derart, dass mit je zwei verschiedenen Punkten L auch deren Verbindungsgerade enthält.
−−→
Sei ausserdem charK 6= 2. Setze U := {P Q | P, Q ∈ L}. Wir müssen zeigen, dass U ein Vektorraum ist:
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Da L mit P und Q auch ihre Verbindungsgerade enthält, ist k P Q ∈ U für alle k ∈ K. Es bleibt zu zeigen,
dass mit u, v ∈ U auch u + v ∈ U ist.
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Doch zuvor beweisen wir den Tipp: Sei S := P + 2P Q. Da P, Q ∈ L, ist auch S ∈ L. Da |K| ≥ 3 ist, ist
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−→ −→ −→
−→
−→
−−→
S 6= P . Damit ist auch T := S + 2SR ∈ L und T 6= S. Nun ist P T = P S + ST = 2QS + 2SR = 2QR,
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also T = P + 2QR. Da die Charakteristik ungleich zwei ist, ist der Mittelpunkt von P und T auch auf L
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und MP T = P + QR.
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−→
Sei u, v ∈ U . Dann gibt es Punkte P, Q, R, S ∈ L mit P Q = u und RS = v. Mittels des Tipps wissen wir,
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→
−
→
dass P 0 = P + SR ∈ L ist. Damit ist u + v = P Q + RS = P Q − SR = P 0 Q ∈ U .
Gegenbeispiel für F2 , den Körper mit zwei Elementen: A = F22 , L = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}. Dieses L enthält
mit zwei Punkten auch immer die Verbindungsgeraden (da die sowieso nur aus diesen beiden Punkten
besteht). Aber wäre L ein affiner Unterraum, dann wäre seine Richtung zweidimensional und L müsste
gleich A sein.

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