Serie 10 - Mathematik und ihre Didaktik

HU Berlin
Sommersemester 2016
Übungsaufgaben zur Vorlesung
Lineare Algebra und Analytische Geometrie II*
Prof. Dr. J. Kramer
Abgabetermin: 28.06.2016 in der Vorlesung
Bitte beachten:
JEDE Aufgabe auf einem neuen Blatt abgeben.
JEDES Blatt mit Namen, Matrikelnummer, Übungsgruppennummer versehen.
Serie 10 (30 Punkte)
Aufgabe 1 (10 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Punkte
 
 
 
 
2
3
3
2
P0 = 3 , P1 = 3 , P2 = 4 , P3 = 2
4 aff
3 aff
4 aff
2 aff
A R
A R
eine (geordnete) affine BasisdesRaums 3 ( ) bilden, und geben Sie die affinen Ko8

ordinaten des Punktes P = 7 ∈ 3 ( ) bezüglich dieser affinen Basis an.
6 aff
A4(R) seien die Punkte
(b) Im affinen Raum




 
 
3
3
2
1
−4
 −2 
0
2



 
 
Q0 = 
 1  , Q1 = −10 , Q2 = −3 , Q3 = 4
6 aff
0
2 aff
4 aff
aff
A R
gegeben. Bestimmen Sie die Dimension des kleinsten affinen Unterraums von 4 ( ),
der diese vier Punkte enthält, und geben Sie ein lineares Gleichungssystem für diesen
Unterraum an.
Aufgabe 2 (10 Punkte)
Wir betrachten den affinen Raum
A3(F5).
A3(F5)?
(b) Wie viele Geraden gibt es in A3 (F5 )?
(c) Wie viele Ebenen gibt es in A3 (F5 )?
(a) Wie viele Punkte hat
(d) Wie viele parallele Geraden zu einer fixierten Geraden gibt es?
(e) Wie viele windschiefe Geraden zu einer fixierten Geraden gibt es?
Aufgabe 3 (10 Punkte)
Es seien (W1 ) / (W2 ) zwei schwach parallele affine Unterräume von
A
A
A(V ). Zeigen Sie:
A(W1) $ A(W2) oder A(W1) ∩ A(W2) = ∅.
(b) Es existiert ein affiner Unterraum N $ A(W2 ) mit der Eigenschaft N k A(W1 ).
(c) Beweisen Sie: Eine affine Gerade G und eine affine Hyperebene H im Raum An (K)
(a) Es gilt entweder
sind entweder (schwach) parallel oder haben genau einen Schnittpunkt.
2

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