Übung 6

Übung 6
zur Vorlesung "Bedienungstheorie"
6.1 Aufgabe
Gegeben sei das System M H2 1. Die Verteilungsdichte für die Bedienzeit ist gegeben durch
fB HtL =
1
4
Μ e-Μ t +
3
4
H2 ΜL e-2 Μ t
t³0
Bestimmen Sie mit Hilfe der Pollaczek-Khinchine Formel die Zustandswahrscheinlichkeiten pk = PHN = kL
HN - die Anzahl der Kunden im SystemL
6.2 Aufgabe
Betrachten wir das System M @X D G1 mit Ankunft in Gruppen mit Wahrscheinlichkeit cn = P@XT = nD, dass
HaL Zeigen Sie, dass die erzeugte Funktion der Anzahl NHtL der angekommenden im Intervall @0, tD Kunden
die Anzahl XT der Kunden, die gleichzeitig eintrifft, k beträgt.
`
n
Y HzL =e-Λ tH1-CHzLL beträgt, wobei CHzL = Ú¥
n=0 cn z .
HbL Zeigen Sie, dass die erzeugte Funktion der Anzahl V HtL der Ankünfte während der Bedienzeit B = t, kann
wie folgt angegeben werden
`
V HzL = B* HΛ - Λ CHzLL, wobei F * HsL := Ù0¥ e-s t fB HtL â t ist die Laplace-Transformierte der Bedienzeit.
6.3 Aufgabe
Gegeben sei das System M G ¥ (die Ankömmling sieht immer einen freien Bediener und wird sofort
bearbeitet, d.h. die Verteilungsfunktionen für die Bedienzeit B und für die Verweilzeit Q übereinstimmen
BHxL = PHB < xL = PHQ < xL = W HxL
Sei pk HtL = PHNHtL = kL beschreibt die Zustandswahrscheinlichkeiten, wobei p0 H0L = 1 und W = E@QD = E@BD.
HaL Beweisen Sie den Satz:
-Λ t
pk HtL = Ú¥
n=k e
HΛ tLn
n!
k 1
n-k
n 1 t
B Ù0 H1 - BHxLL â xF B Ù0t BHxL â xF
t
k t
Hinweis:
1
t
t
Ù0 BHxL â x -die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bedienzeit eines Benutzeres kleine t ist, unter die
Bedingung, dass seiner Ankunftzeit gleichverteilt auf dem Intervall [0,t] ist.
HbL Zeigen Sie, wenn pk = limt®¥ pk HtL, dann gilt
pk =
HΛE@BDLk
k!
e-ΛE@BD
Hinweis:
2
1
t
t
Ù0 BHxL â x -die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bedienzeit eines Benutzeres kleine t ist, unter die
Uebungsblatt6.nb
Bedingung, dass seiner Ankunftzeit gleichverteilt auf dem Intervall [0,t] ist.
HbL Zeigen Sie, wenn pk = limt®¥ pk HtL, dann gilt
pk =
HΛE@BDLk
k!
e-ΛE@BD
6.4 Aufgabe
Gegeben sei das H2 M 1 -Warteschlangensystem mit Λ1 = 2, Λ2 = 1, Μ = 2 und Α1 = .
5
HaL Bestimmen Sie Σ.
HbL Bestimmen Sie rk .
HcL Bestimmen Sie fQ HtL
8
HdL Bestimmen Sie W = E@QD
6.5 Aufgabe
Gegeben ist ein G M 2 -System. Durch die Belegung von Plätzen in der Warteschlange vor dem Server
entstehen Kosten Y mit der folgenden Verteilungsdichte
cY HtL = a eb t
(a) Bestimmen Sie die mittlere Kosten E@Y D für die Belegung von Plätzen in der Warteschlange
(b) Unter welcher Bediengung ist die mittlere Kosten endlich.
6.6 Aufgabe
Für ein G M 1 -System ist die Laplance-Transformierte der ZAZ A
A* HsL =
2 Μ2
Hs+ΜL Hs+2 ΜL
bekannt. Berechnen Sie Σ, rk Hk = 0, 1, 2, ...L, FQq HtL, FQ HtL und Wq = EAQq E, W = E@QD.

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