第4回宿題

第4回宿題
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氏名
１．次の微分方程式をラプラス変換を用いて解け。
d 2 y dy
(a) 2 −
− 2 y = t 2 : y (0) = 1, y′(0) = 1
dt
dt
(s 2Y − sy(0) − y ′(0)) − (sY − y(0)) − 2Y = 23
s
2 + s4
Y (s) = 3 2
s ( s − s − 2)
3
1
3
1
1
=
+
−
+ 2 − 3
4( s − 2) s + 1 4 s 2 s
s
3 2t
3 t t2
−t
y (t ) = e + e − + −
4
4 2 2
d2 y
(b) 2 − y = 25 + e 2t
dt
: y (0) = k1 ,
y′(0) = k 2
25
1
26s − 50
s Y − sy (0) − y ′(0) − Y =
+
=
s s − 2 s ( s − 2)
26s − 50 + s ( s − 2)(k1 s + k 2 )
Y (s) =
s ( s − 2)( s 2 − 1)
(
2
)
極は0, 2, 1, − 1(すべて1位)
1 2t 24 + (k1 + k 2 ) t 76 + 3(k1 − k 2 ) −t
y (t ) = −25 + e +
e +
e
3
2
6
２．右のラプラス逆変換を、
①部分分数に展開する方法
②留数演算を用いる方法
をそれぞれ用いて求めよ。
①
s
( s + 1)( s 2 + 1)
1  s +1
1  1 s
1
1 
=
+
−
−
2  s 2 + 1 s + 1 2  s 2 + 1 s 2 + 1 s + 1

 1
s
1
1 −t
L−1 
=
t
+
t
−
e
cos[
]
sin[
]
 2
2
+
+
s
s
(
1
)(
1
)
2
2


② 極は − 1, − j , j
(
)
(
)
(
1
1
1
+ ( s + j ) F ( s )e st
+ ( s − j ) F ( s )e st
( s + 1) F ( s )e st
s = −1
s =− j
0!
0!
0!
j
− 1 −t
−j
e jt
e +
e − jt +
=
2
(1 − j )(−2 j )
(1 + j )(2 j )
1
1
1
1
1
= − e −t + (1 + j )e − jt + (1 − j )e jt = − e −t + cos[t ] + sin[t ]
2
4
2
2
2
f (t ) =
[
]
)
s= j
３．図3の回路において、左端のコンデンサCにQ0の電荷を充電
しておき、t=0でスイッチSを閉じたときの電流 i1と i2をラプ
ラス変換を用いて求め、図示せよ。
+Q0
R
S
i3
i1
R
i2
C
C
C
図3
-Q0

Q0 I1 ( s )
 1

1
1

(
)
+
−
=
+
R
I
s
0


=
+
−
i
t
Ri
i
t
0
d
d
3

3
3
1

Cs
Cs
Cs


C
C



1
1
I1 ( s ) 
1 
0 = −
i1dt + Ri2 +
i2 dt ラプラス変換すると
= R +
 I 2 (s)


C
C
Cs
Cs 

i + i + i = 0


1 2 3
I1 (s ) + I 2 (s ) + I 3 (s ) = 0

⇒ I1 = (1 + sCR )I 2 ,　I 3 = −(2 + sCR )I 2
∫
∫
∫
∫
Q0  1

 1

 1

=
+ R (2 + sCR )I 2 + 
+ R I 2 = 
+ R (3 + sCR )I 2
sC  sC

 sC

 sC

Q0
Q  1
1
= 0 
−
1
(1 + sCR )(3 + sCR ) 2CR  s + CR s + CR3
Q0
Q  1 
= 0 
I1 ( s ) =
3 
3 + sCR CR  s + CR

Q
 3t 
∴ i1 (t ) = 0 exp −
Q0

CR
 CR 
CR
Q 
 t 
 3t  

−
−
i2 (t ) = 0  exp −
exp

 CR  
2CR 
 CR 


⇒ I 2 ( s) =

　

i
i1
Q0
i2
2 2CR
0
0
t1 =
ln 2
CR
2
t
４．図4のLR回路に、 t = 0 になる瞬間にスイッチSを閉じて交流
e(t) = E0 sin[ωt]を加えたときの電流を、ラプラス変換を用い
て求め、図示せよ。
R
S
図4
L
e
di
= E0 sin[ωt ]　ラプラス変換して
dt
ωE
I ( s ) R + sLI ( s ) − i (0) L = 2 0 2
s +ω
初期値：i (0) = 0
iR + L
ωE0
1
s 2 + ω 2 sL + R
 L
ωE0
Ls
R 
= 2
−
+


R + (ωL) 2  s + RL s 2 + ω 2 s 2 + ω 2 
I (s) =
ラプラス逆変換を行い
i (t ) =
E0


ωE 0
R
 R 


exp
cos[
]
sin[
]
−
−
+
L
t
L
t
t
ω
ω
2
2 


L
ω
R + (ωL) 



i(t)
i
R 2 + (ωL )
ωLE0
R + (ωL )
2
2
exp[− RL t ]
2
0
−
E0
R 2 + (ωL )
2
0
ωE 0
R + (ωL )2
2
(ωR sin[ωt ] − L cos[ωt ])
t

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