平常試験，中間試験および解答

4 月 14 日
A = { n1 : n ∈ N} とするとき，任意の x > 0 について a < x をみたす a ∈ A
が存在することを示してください．また，任意の x < 0 について，y > x か
つすべての A の元より小さい y が存在することを示してください．
4 月 21 日
集合 A と B について，
sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}
であることを示してください．
解. sup A ≥ sup B と仮定してよい．このとき，右辺は sup A になる．
• A ∪ B ⊃ A であるから，∀a ∈ A について a ≤ sup(A ∪ B) より，
sup(A ∪ B) ≥ sup A が従う．
• f orallε > 0 について ∃c ∈ A ∪ B ．s.t.
sup(A ∪ B) − ε < c
– c ∈ A ならば c ≤ sup A
– c ∈ B ならば c ≤ sup B だが仮定より c ≤ sup A
以上により
sup(A ∪ B) − ε < sup A
このことから
sup(A ∪ B) ≤ sup A
2 つ合わせて証明が終る．
4 月 29 日
(
1)
=0
lim log 1 −
n→∞
n
を ε–δ 法で示してください．
□
(
)
解. ∀ε > 0 について log 1 − n1 − log 1 < ε をみたす n の範囲を求めれ
ばよい．
∀ε > 0
(
1
1)
n≥
⇒ log 1 −
− log 1 < ε
−ε
1−e
n
□
5 月 12 日
′
∆′ が ∆ の細分ならば S ∆ ≥ S ∆ を示してください．
5 月 19 日
S ∆ (f + g) ≤ S ∆ (f ) + S ∆ (g) を示してください．
∑n
解. S ∆ (f ) = i=1 supx∈[ai−1 ,ai ] f (x) (ai − ai−1 ) であるから
(f (x) + g(x)) ≤
sup
x∈[ai−1 ,ai ]
sup
f (x) +
x∈[ai−1 ,ai ]
sup
g(x)
x∈[ai−1 ,ai ]
を示せばよい．
∀ε > 0 について，∃x0 s.t f (x0 ) + g(x0 ) ≥ sup(f (x) + g(x)) − ε 一方，
f (x0 ) ≤ sup f (x) かつ g(x0 ) ≤ sup g(x) より
sup f (x) + sup g(x) ≥ sup(f (x) + g(x)) − ε
ε は任意なので証明終わり
□
5 月 26 日
数列 {an }, {bn } について
inf(an + bn ) ≥ inf an + inf bn
を示してください．
解. ∀ε > 0 について，∃n0 s.t. an0 + bn0 ≤ inf(an + bn ) + ε
一方，an0 ≥ inf an かつ bn0 ≥ inf bn ．したがって
inf an + inf bn ≤ inf(an + bn ) + ε
ε は任意なので証明終わり
□

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