数A 第7回の資料をupしました

　組分けの問題
第１章　場合の数と確率
§１　場合の数
pp.25-26
目標

条件付きの組合せの総数が求められる

組分けの総数を求めることができる
2
キーワード

組合せ
3
組合せ

組合せとは与えられた複数個のものから順序付
けしないで選んだ組のこと
✔

順序付けしたもの順列といった
異なるn個のものから任意にr個とる組合せの総
数を　（combination n, rと読む）で
表す
4
組合せ

A, B, Cの３つの文字から２つ選んで作る組合せ
の総数は
5
Ex.

男子５人, 女子４人から５人選ぶとき, 次のよう
な選び方は何通りあるか
(1)　男子３人, 女子２人を選ぶ
(2)　Aさん, Bさんの２人が必ず選ばれる
(3)　AさんとBさんの少なくとも１人は選ばれる
6
Ex.

男子５人, 女子４人から５人選ぶとき, 次のよう
な選び方は何通りあるか
(1)　男子３人, 女子２人を選ぶ
男女ともに選び, 男子３人の選び方のいずれについて
も同じだけ女子２人の選び方が存在するから積の法則
男子５人から３人選びかつ女子４人から２人選ぶから
（通り）
7
Ex.

男子５人, 女子４人から５人選ぶとき, 次のよう
な選び方は何通りあるか
(2)　Aさん, Bさんの２人が必ず選ばれる
AさんとBさんは選ばれることが決まっているので, 残
り７人から３人選べばよい
（通り）
8
Ex.

男子５人, 女子４人から５人選ぶとき, 次のよう
な選び方は何通りあるか
(3)　AさんとBさんの少なくとも１人は選ばれる
補集合の考え方を使うためのキーワード
起こりうる全ての場合からどちらも選ばれない場合を除く
起こりうる全ての場合は
どちらも選ばれない場合は７人から５人選べばよいから
９人から５人選ぶ
（通り）
AもBも
選ばない
少なくとも
１人選ぶ
9
Ex.

男子５人, 女子４人から５人選ぶとき, 次のよう
な選び方は何通りあるか
(3)　AさんとBさんの少なくとも１人は選ばれる
別解）
Aさんだけ選ばれる　または
Bさんだけ選ばれる　または
どちらも選ばれる
（通り）
10
Advanced Ex.（組分け）

10人を次のように分けるとき, 分け方は何通り
あるか
(1)　A, B, C, D, Eの５組に２人ずつ分ける
(2)　２人ずつ５組に分ける
(3)　４人, ３人, ３人の３組に分ける
グループの名称や人数によって区別でる場合は順番
に決めていけばよい
グループの名称や人数によって区別できない場合は
順番に決めたあと順序の区別をなくす
11
Advanced Ex.（組分け）

10人を次のように分けるとき, 分け方は何通り
あるか
(1)　A, B, C, D, Eの５組に２人ずつ分ける
A, B, C, D, Eの順に２人ずつ決めていけばいいから
A
B
かつ
C
かつ
（通り）
D
かつ
E
かつ
12
Advanced Ex.（組分け）

10人を次のように分けるとき, 分け方は何通り
あるか
(2)　２人ずつ５組に分ける
どの組も人数が同じなので区別することができないか
ら, (1)においてA, B, C, D, Eという名前の区別をなく
せばよい
区別をなくすということはA, B, C, D, Eを一列に並べる
ときの順序（並べ方）を無視することになるのだから
（通り）
13
Advanced Ex.（組分け）

10人を次のように分けるとき, 分け方は何通り
あるか
(3)　４人, ３人, ３人の３組に分ける
２つある3人の組は人数が同じなので区別することが
できないから,３人の組だけ区別をなくせばよい
４人のグループ
３人のグループ
３人のグループ
区別をなくす
（通り）14
補足

組分けで区別をなくすとはどういうことか
a, b, c, d, e, f の６人を2ずつ A, B, C の３組に分ける
仮に{a, b}, {c, d}, {e, f} で A, B, C に振り分けるとすると
A
B
C
{a, b}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{c, d}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{a, b} {c, d}
{e, f}
{c, d} {a, b}
振り分け方は６通りだが, これは
{a, b}, {c, d}, {e, f}をA, B, C の順に
一列に並べることを考えるのと同じ
ことで, 3!で求まる
15
補足

組分けで区別をなくすとはどういうことか
ここでA, B, Cの区別をなくすことを考えると, ２人ずつ
{a, b}, {c, d}, {e, f}の３組に分けることになる
A
B
C
{a, b}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{c, d}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{a, b} {c, d}
{e, f}
{c, d} {a, b}
どの行も{a, b}, {c, d}, {e, f}のペア
になっているので同じ組分けになっ
ている
16
補足

組分けで区別をなくすとはどういうことか
A, B, C で区別していれば６通りあったものが, A, B, C の
区別を無くせば全て同じ{a, b}, {c, d}, {e, f}のペアなので
１通りになる
{a, b}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{c, d}
{a, b}
{e, f}
{c, d}
{e, f}
{a, b}
{e, f}
{a, b} {c, d}
{e, f}
{c, d} {a, b}
全部同じ{a, b}, {c, d}, {e, f}のペア
になっているのでこれで１通り
並びを考えることが区別することに
あたるのだから, 区別をなくすには並
17
べ方の総数３!で割ればよい
演習



教科書pp.25-26を解きなさい
クリアーp.100の53及びp.101の58, 59を解き
なさい
チャート式p.234の(2)及びp.237を解きなさい
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