その場

物理学演習 III(量子力学)
［その場演習 No. 6］
2016. 5. 24
周りの人と相談して以下の問題を解いても構いません
【水素原子 (前半)】
水素原子の動径波動関数 R(r) が満たす Schrödinger 方程式
[
(
h̄2 1 d
d
−
r2
2
2m r dr
dr
において
)
]
ℓ(ℓ + 1)h̄2 e2
−
+
R(r) = E R(r) (E < 0)
2mr2
r
√
8m|E|
,
h̄2
α=
2me2
e2
λ=
=
h̄
αh̄2
√
m
2|E|
とおくと，ρ = αr を用いて
(
( ))
1 d
d
ρ
ρ2 R
ρ2 dρ
dρ
α
{
+
}
( )
λ 1 ℓ(ℓ + 1)
ρ
− −
R
ρ 4
ρ2
α
=0
(1)
を得る。
(1) ρ → ∞ での漸近形が，R(ρ/α) ∼ exp(−ρ/2) の形で書けることを確認せよ。
(2) そこで
( )
R
ρ
α
ρ
= e− 2 f (ρ)
として，これを式 (1) に代入することで f (ρ) についての方程式
d2 f (ρ)
+
dρ2
を得よ。
(
)
df (ρ)
2
−1
+
ρ
dρ
{
}
λ − 1 ℓ(ℓ + 1)
−
f (ρ) = 0
ρ
ρ2
(2)

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